Uppgift 4113 Bestäm största och minsta värdet

Du skall titta på x i intervallet 0 $\le$x $\le$3,2. Notera att 3,2 är något större än $\mathrm{\pi }$ (= 3.14...).

I det angivna intevallet har derivatan nollställen då x = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ och då x = $\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$.

Notera att f(x) = sin(x)cos(x) = (1/2)sin(2x).

Jag har problem med hur jag ska göra teckentabellen

Du behöver inte göra en teckentabell.

De frågar inte efter vilka min- och maxpunkterna är utan endast efter vilket det största och det minsta värdet är.

Det finns endast ett begränsat antal punkter som kan vara det största respektive det minsta värdet.

Det är de stationära punkterna inuti intervallet och intervallets ändpunkter.

Du kan helt enkelt beräkna funktionsvärdet ì dessa punkter så ser du vilket det största och det minsta värdet är.

=========

Men om du ändå vill ta reda på vilken karaktär extrempunkterna vid x = pi/4 och x = 3pi/4 har så är det enklast att använda andraderivatans tecken:

• Om f''(pi/4) < 0 så har f(x) en maxpunkt vid x = pi/4.
• Om f''(pi/4) > 0 så har f(x) en minpunkt vid x = pi/4

Samma sak gäller för extrempunkten vid x = 3pi/4.

=======

Men om du ändå vill använda en teckentabell för att ta reda på extrempunkternas karaktär så kan den se ut så här, där du alltså ska ersätta frågetecknen med relevant information:

Min uträkning. Är det rätt?

Början är rätt, men den går att göra på ett enklare sätt iom att sin(x)cos(x) = sin(2x)/2.

Du behöver egentligen inte heller derivera eftersom du direkt kan säga vilka värden på x som ger största/minsta värdet på funktionen.

Kontrollera dina x-värden, tillhör de verkligen intervallet?

Okej. Minsta värdet är alltså noll medan 0.5 är största värdet på funktionen. -pi/4 är ett x som ligger utanför intervallet 

Tänk på att du kan ha multiplar av dina lösningar som ligger i intervallet

Så här ser en plot av funktionen ut:

Katarina149 skrev:

Okej. Minsta värdet är alltså noll medan 0.5 är största värdet på funktionen. -pi/4 är ett x som ligger utanför intervallet 

Börja med att ta fram de x-värden i intervallet som ger min- eller maxpunkter.

Beräkna funktionsvärdet i dessa punkter

Beräkna funktionsvärdet vid intervallets ändpunkter.

jag har ju redan gjort det i min uträkning

Du måste ha alla x-värden i intervallet som ger max eller i min, du har bara tagit två.

om du har att x₂ = -pi/4+pi*n så måste du prova vad som händer om n = 0, om n = 1 osv till dess att du ligger utanför intervallet 

Här försöker jag testa med olika värden på n. Jag får enbart ett värde på ”största värde” som passar in i intervallet medans två värden som passar in i ”minsta värdet” 

Vilka två x-värden menar du att de ger minpunkter i intervallet?

De x värden som ger minimipunkt är då x= -pi/2 ; och x=3pi/4

Det stämmer inte. Läs uppgiften igen.

Där står det att intervallet är $0\leq x\leq3,2$

Det betyder att intervallet inte innehåller några negativa x-värden.

Jaha då är det enbart x=3pi/4 som ger en minpunkt som passar i intervallet 

Ja det stämmer.

Du har alltså två stationära punkter i intervallet.

Följ nu instruktionerna jag gav i början av svar #4.

Visa dina uträkningar där du tydligt anger vilka kandidater du har till minsta och största värde.

f(3pi/4) =-0.5  -> ger oss minsta värdet 

f(pi/4)= 0.5 -> ger oss största värdet 

Det stämmer, men i din lösning bör du även ta med intervallets ändpunkter som kandidater (dvs möjliga största respektive minsta vörden).

Menar du att jag även ska undersöka f(0) och f(3.2)?

Ja, just så.

Du kan råka ut för onödiga poängavdrag om du inte gör det.

f(0)=0 och f(3.2)~0.058

utifrån mina beräkningar drar jag slutsatsen att f(2pi/4)= -0.5 ger oss minsta värdet och f(pi/4)=0.5 ger oss största värdet . 
Är det rätt svar?

Ja, om du menar att f(3pi/4) = -0,5

Ja precis. Jag menade f(3pi/4) =-0.5 . Alltså är det rätt svar!

Ja det är rätt svar.

Förstår du varför du ska ta ned intervallets ändpunkter som kandidater vid liknande uppgifter?