Uppgift 3146 bestäm mha graferna

Det blev inte helt rätt.

$h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$
Se nedan:

Okej hur ska man läsa av grafen mha uttrycket du skrev

Katarina149 skrev:

Okej hur ska man läsa av grafen mha uttrycket du skrev

$h'(2)=f'(g(2))\cdot g'(2)=...$

5*4=20?

h(x) = f(g(x))
h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

h'(2):
g'(2)=4 avläses
g(2)=4 avläses

Du har inte f'(x) i grafen men du har f(x).
Vad är f'(4)? Dvs vad är lutningen för f(x) i punkten x=4?

f’(4) =5

Vi vet att g’(2)=4

f’(4)=f’(g(2)) = 5 

alltså blir f’(g(2))•g’(2)=20

Katarina149 skrev:

f’(4) =5

Vi vet att g’(2)=4

f’(4)=f’(g(2)) = 5 

alltså blir f’(g(2))•g’(2)=20

Snyggt! Vad får du på b)-uppgiften?

I b ska det vara f’(1/g(x)) * 1/g’(x) ? 
i det här fallet vill vi hitta f’(1/g(1))

1/g(1)=1/2 

f’(1/2) = f’(1/g(1))=1.5 

1/g’(1) = 1/2 =1/2 

(3/2) * (1/2)= 3/4 

Programmeraren skrev:

Du har inte f'(x) i grafen men du har f(x).

Förtydligande: jag skrev fel på raden ovan. Bilden var lite suddig så jag tyckte det stod f(x) och inte f'(x).
Bra att det inte ställde till det.

Katarina149 skrev:

(3/2) * (1/2)= 3/4 

Jag fick inte samma men jag verkar ju inte vara i toppform, vad säger facit?

Jag tänker att 1/g(x) är inre funktion till f(x), dvs vi tar kedjeregeln två gånger. 

z(x)=1/x

h(x)=f(z(g(x))) = f(1/g(x))

Så långt har jag kommit. Har fastnat på b

a) är rätt (det var redan klart sen tidigare)

b) Jag tänker att det är tre funktioner:

1/g(x) är också en funktion.

Om vi sätter z(x)=1/x får vi:

h(x)=f(z(g(x))) = f(1/g(x))

Då är det kedjeregeln två gånger, dvs

h'(x)=f'(z(g(x)) * z'(g(x) * g'(x)

Kan du snälla i b förklara med stegvist hur du tänker? Om du skriver på ett papper så brukar det oftast bli tydligare och lättare att hänga med 

$h\left(x\right)=f\left(\frac{1}{g\left(x\right)}\right)$

För att få h'(x) vill vi använda kedjeregeln.

Men "1/g(x)" är också en funktion.

Ok?

Ja så långt är jag med

Skapar en funktion z(x)

$$\begin{gathered} z\left(x\right)=\frac{1}{x} \\ h\left(x\right)=f\left(z\right(g\left(x\right)\left)\right) \end{gathered}$$

ok?

Det här steget hängde jag inte med på? Vad gjorde du i det steget? Kan du förklara med ord?

Jag vill ha h(x) på en form som passar kedjeregeln. För att det ska vara enkelt att se hur det hänger ihop vill man ha allt som funktioner.

Och när man ser att det finns en mellanfunktion "1 genom" så skapar man den.

z(x)=1/x

Om du utvecklar tillbaka:

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=f\left(z\right(g\left(x\right)\left)\right)= \\ f\left(\frac{1}{g\left(x\right)}\right) \end{gathered}$$

Eller hur?

Eftersom z(x) = 1/x är ju z(g(x)) = 1/g(x)

Ok?

1. Men vad blir yttre derivatan? Är det f’(1/g(x))? Och inre derivatan blir -1*(g(x))^-2 ?

Nej inte riktigt. Det är tre funktioner. Då blir det kedjeregeln 2 ggr. Det du gjort är rätt men du saknar

* g'(x)

på slutet.

f(g(x)^-1) är tre delfunktioner: f, g och "upphöjt i -1"

Jaha alltså 

f’(1/g(x)) * -1 * (g( x))^-2 * g’(x)?

Ja. Kedjeregeln i 2 steg:

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=f\left(z\right(g\left(x\right)\left)\right) \\ h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(z\right(g\left(x\right)\left)\right)\times z\text{'}\left(g\right(x\left)\right)\times g\text{'}\left(x\right) \end{gathered}$$

Hur ska jag hitta vad g’(2)^-1 är? Och även vad g’(2)^-2 är ?

Ja fast f' i första termen.

Hur menar du? Menar du att det skulle stå 

f’(g(2)^-1)?

Ja. Det är ju så första delen ser ut med kedjeregeln.

"Hur ska jag hitta vad g’(2)^-1 är? Och även vad g’(2)^-2 är ?"

g'(x) finns i figuren

Hur läser jag av grafen vad f’(1/4) är?

STOPP: Men varför frågar du om g' i #24?
I bilden i #24 har du korrekt skrivit g(2) och inte g'(2)

Hur ska jag försätta har fastnat liksom. Det har blivit stopp i min hjärna 

Ta det lugnt. Du var på rätt spår. Och gjorde rätt. Bilden i #24 är rätt. Texten under är nåt helt annat.

Sänk tempot, det tar för lång tid på det här sättet.

Gå tillbaka till #23 och bilden i #24.

Det blir extra förvirrat när frågor och svar kommer ur takt.

Jag vet inte vad du gjort i #29. Du ska sätta in värden från det du hade i #24. Men jag vet inte riktigt vad du gör då.

Okej. Jag ska sänka tempot för att undvika att jag blir förvirrad 

Är det rätt så långt?  Något känns fel i uträkningen

Ser inga fel men inte räknat.

Det är h'(1) du ska räkna ut!

Hur kan jag avläsa vad f’(1/4) är exakt?

Programmeraren skrev:

Det är h'(1) du ska räkna ut!

Jag ska alltså sätta in x=1 istället för 2 som jag gör😑? Elr

Jag tog det steg för steg. Det gick utmärkt utan papper.
När vi närmade oss deriveringen och jag frågade (2 gånger) om du var med på omskrivningen deriverade du istället och fick fel. Som jag då hjälpe dig med. Då var vi på det spåret.
När väl derivatan var klar sattes värde in. Och det gick efter ett tag bra förutom att du satt in fel värde.

Hur menar du att vi ska göra? En komplett lösning på papper ger inget eftersom det blir många steg på en gång.

Felet var alltså bara att jag satte in fel värde på x. Jag skulle sätta in x=1 istället för 2? Visst är det så?

Ja. Det blir lättare om du skriver ut h'(x) med 1/g(x) osv istället för upphöjt i -1 och upphöjt i -2.

Är det rätt?

Ja.

Kan du derivera a(b(c(x)))?

Jag tror att det ska blir så här 

Exakt!

Du behöver inte visa men då kan du derivera

a(b(c(d(e(f(g(h(i(x)))))))))

också

Jag tror att kunna det jag skrev ovan i #43 kommer underlätta för mig jätte mycket när jag läser liknande frågor. 

Absolut!

Tänk på att skriva om uttrycket du har på formen f(g(h(x))). Oftast handlar det som att hitta delfunktionerna.

T ex

$$\begin{gathered} s\left(x\right)=\sin \left(\sqrt{x^2+1} \\ f\right(x)=\sin x \\ g(x)=\sqrt{x} \\ h(x)=x^2+1 \\ s(x)=f(g\left(h\right(x\left)\right)) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} s\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(g\right(hx\left)\right)\times g\text{'}\left(h\right(x\left)\right)\times h\text{'}\left(x\right)= \\ \cos \left(\sqrt{x^2+1}\right)\times \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\times 2x \end{gathered}$$

Programmeraren skrev:

Absolut!

Tänk på att skriva om uttrycket du har på formen f(g(h(x))). Oftast handlar det som att hitta delfunktionerna.

T ex

$$\begin{gathered} s\left(x\right)=\sin \left(\sqrt{x^2+1} \\ f\right(x)=\sin x \\ g(x)=\sqrt{x} \\ h(x)=x^2+1 \\ s(x)=f(g\left(h\right(x\left)\right)) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} s\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(g\right(hx\left)\right)\times g\text{'}\left(h\right(x\left)\right)\times h\text{'}\left(x\right)= \\ \cos \left(\sqrt{x^2+1}\right)\times \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\times 2x \end{gathered}$$

Ja precis!