Uppgift 30 på KTH/Chalmers matematik och fysikprov 2016, mattedel

Utifrån din skiss uppe till vänster verkar det som att du antar att bisektrisen är vinkelrät mot hypotenusan. Så är inte nödvändigtvis fallet! Se exempelvis följande triangel:

Tänker jag rätt?

Nej, nu förutsätter du att att vinklarna i triangeln med sidorna $a$ $x$ är likformig med den stora triangeln. Jag nämnde ju i mitt förra inlägg att den mindre triangeln inte ens behöver vara rätvinklig.

Jag föreslår följande:

Om vi skulle kunna ta uttrycka sträckan $c$ i min bild i $a$ och $b$ skulle vi kunna använda cosinussatsen för att lösa ut $x$ i den rödmarkerade triangeln:

Det enda kruxet är att ta reda på $c$. Jag föreslår bisektrissatsen.

Har jag tänkt rätt med bisektrissatsen

Ja, det är en bra start. Nu behöver vi få fram ett uttryck för $d$ också. Det kan vi göra genom att vi vet att hypotenusan $h$ i den största rätvinkliga triangeln är:

$h=c+d$

Hur kan du få fram hypotenusan $h$?

Med hjälp av Pythagoras sats får jag sqrt(a² + b²) = h

Ja, vad får du då för uttryck för $d$ om du stoppar in i $h=c+d$?

Var det så du menade med att skapa ett utryck för d?

Euleroid skrev:

Första termen i HL i den första ekvationen, är det $\frac{4d}{b}$ eller $\frac{9d}{b}$ eller något annat? Varifrån får du det uttrycket? Är andra termen d eller a eller något annat?

Det är ad/b, vilket är ett utryck för c. Fick det utrycker genom att använda mig av bisektrissatsen.

Jag tänkte föreslå ett annat sätt som man kan använda om man inte kommer ihåg bisektrissatsen. Börja med att rita upp triangeln, och kalla bisektrisen för x:

Den räta vinkeln delas i två (markerade med en fnutt). De nya vinklarna blir 45 °

Sedan drar man linjer parallellt med kateterna genom hypotenusans skärningspunkt med bisektrisen:

De två linjerna har jag kallat y, för de är lika långa! Det ser man genom att vinklarna i "xy-triangeln" blir 45, 90 0ch 45, och att de trianglarna därför är en halv kvadrat, med bisektrisen som gemensam diagonal (fråga om du inte förstår detta).

Då kan man skriva:

$$\begin{gathered} y^2+y^2=x^2 \\ \sqrt{2}y=x \end{gathered}$$

Sedan använder vi arean för att få ett samband mellan a, b och y:

$$\begin{gathered} \frac{ab}{2}=\frac{ay}{2}+\frac{by}{2} \\ ab=ay+by=y(a+b) \\ \frac{ab}{a+b}=y \\ \frac{{\displaystyle \sqrt{2}ab}}{{\displaystyle a+b}}=\sqrt{2}y=x \end{gathered}$$

Bra gjort, nu fattar jag!