Uppgift 2b

Vad är det för typ av summa? :)

Smutstvätt skrev:

Vad är det för typ av summa? :)

Geometrisk ?

Japp! Och den typen av summa har en summaformel, som är...? :)

Smutstvätt skrev:

Japp! Och den typen av summa har en summaformel, som är...? :)

Hm a(k^n+1-1)/k-1

Det stämmer! $a=2$ och $k=\frac{1}{3}$. Men! Börja med att skriva upp talföljdens element. För vilka talföljder gäller summaformeln för geometriska summor? :)

Smutstvätt skrev:

Det stämmer! $a=2$ och $k=\frac{1}{3}$. Men! Börja med att skriva upp talföljdens element. För vilka talföljder gäller summaformeln för geometriska summor? :)

2*1/3^1+2*1/3^2 ? 

Nja, talföljden börjar på $n=0$, så det blir $a+a{k}^1+a{k}^2+...+a{k}^n$. Denna geometriska summa ser inte riktigt ut så. Vi kan använda formeln ändå, men då måste vi ta hänsyn till att vi börjar på $n=2$. :)

Smutstvätt skrev:

Nja, talföljden börjar på $n=0$, så det blir $a+a{k}^1+a{k}^2+...+a{k}^n$. Denna geometriska summa ser inte riktigt ut så. Vi kan använda formeln ändå, men då måste vi ta hänsyn till att vi börjar på $n=2$. :)

Jag vet ej riktigt om jag är med på ditt resonemang här.  I uppgiften fick vi givet i=2 och n som vi ej vet. Men jag antar att n=2 eftersom i=2. Då blir det 2*1/3^0+2*1/3^1+2*1/3^2.

Vi kan inte anta något om n - det vi vet är att n går mot oändligheten. Så vi kommer att behöva hantera en geometrisk summa med oändligt många termer. Men det går bra. Min poäng var att geometriska summor börjar "utan" några extra faktorer, inte $i=2$, utan $i=0$. 

Smutstvätt skrev:

Vi kan inte anta något om n - det vi vet är att n går mot oändligheten. Så vi kommer att behöva hantera en geometrisk summa med oändligt många termer. Men det går bra. Min poäng var att geometriska summor börjar "utan" några extra faktorer, inte $i=2$, utan $i=0$. 

Hm okej så vi har alltså n=0, n=1, n=2, n= oändlighet? Eller hur ska vi ställa upp detta?

Jag har fortfarande ej kommit någon vart med uppgiften. 

(jag ser att du markerat tråden som klar, så jag antar att du hittat en lösning på annat håll, men lägger en lösning nedan för eventuella framtida besökare, eller om du fortfarande undrar över något)

Vi kan skriva om denna summa till $a_n=2·\sum _{i=2}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^i$. Om vi skriver ut denna summas första termer, är de: 

$a_n=2·\left(\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81}, ...\right)$

Det är en geometrisk summa med $k=\frac{1}{3}$ och $a=2$. Geometriska summor på formen $a, ak, a{k}^2, a{k}^3, ... , a{k}^n$ har summaformeln $S=\frac{a\left(k^{n+1}-1\right)}{k-1}$. Eftersom vår summa börjar på $n=2$, saknar vi termerna $a$ och $ak$. Vi kan fortfarande använda formeln, men vi måste dra bort värdet av de två termerna från vårt svar. 

Summaformeln (inkl. de två extra elementen) ger summan $a_n=\frac{2·\left({\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n+1}-1\right)}{{\displaystyle \frac{1}{3}}-1}$. Då n går mot oändligheten får vi gränsvärdet: 

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{a_n\right\}=\frac{2·\left({\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n+1}-1\right)}{{\displaystyle \frac{1}{3}-1}}=\frac{\left({\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n+1}-1\right)}{{\displaystyle -\frac{1}{3}}}=3\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\right)=3$

Våra två extra element, $a$ och $ak$ har värdena $2$ respektive $\frac{2}{3}$. Om vi subtraherar bort dessa värden får vi kvar värdet $\frac{1}{3}$. 

Svar: $\frac{1}{3}$

Smutstvätt skrev:

(jag ser att du markerat tråden som klar, så jag antar att du hittat en lösning på annat håll, men lägger en lösning nedan för eventuella framtida besökare, eller om du fortfarande undrar över något)

---

Vi kan skriva om denna summa till $a_n=2·\sum _{i=2}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^i$. Om vi skriver ut denna summas första termer, är de: 

$a_n=2·\left(\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81}, ...\right)$

Det är en geometrisk summa med $k=\frac{1}{3}$ och $a=2$. Geometriska summor på formen $a, ak, a{k}^2, a{k}^3, ... , a{k}^n$ har summaformeln $S=\frac{a\left(k^{n+1}-1\right)}{k-1}$. Eftersom vår summa börjar på $n=2$, saknar vi termerna $a$ och $ak$. Vi kan fortfarande använda formeln, men vi måste dra bort värdet av de två termerna från vårt svar. 

 

Summaformeln (inkl. de två extra elementen) ger summan $a_n=\frac{2·\left({\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n+1}-1\right)}{{\displaystyle \frac{1}{3}}-1}$. Då n går mot oändligheten får vi gränsvärdet: 

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{a_n\right\}=\frac{2·\left({\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n+1}-1\right)}{{\displaystyle \frac{1}{3}-1}}=\frac{\left({\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n+1}-1\right)}{{\displaystyle -\frac{1}{3}}}=3\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\right)=3$

Våra två extra element, $a$ och $ak$ har värdena $2$ respektive $\frac{2}{3}$. Om vi subtraherar bort dessa värden får vi kvar värdet $\frac{1}{3}$. 

 

Svar: $\frac{1}{3}$

Hm jag förstår ej hur du får till 3. Jag får 6. När n går mot oändligheten blir väl hela (1/3) typ 0?

Det blir tre eftersom vi kan förenkla bort tvåan i täljaren mot en tvåa som dyker upp i nämnaren. :)

När n går mot oändligheten blir väl hela (1/3) typ 0?

Det stämmer! 

Smutstvätt skrev:

Det blir tre eftersom vi kan förenkla bort tvåan i täljaren mot en tvåa som dyker upp i nämnaren. :)

När n går mot oändligheten blir väl hela (1/3) typ 0?

Det stämmer! 

Juste. Tack! Då förstår jag. 

Vad bra! Varsågod! :)