Uppgift 29 KTH/Chalmers matematik och fysikprov 2018, matematikdel

Hur långt kommer du i diagramritandet när du försöker rita en fyrhörning som passar med beskrivningen? Var fastnar du?

När det kommer till att bestämma längder och förhållanden mellan längder i klassisk geometri så har man egentligen endast två verktyg; likformighetsargument och pythagoras sats och det första man kan göra är att leta efter kongruenser och likformigheter. 

Nyckeln till denna är att visa att MN är parallell med AB och CD. Då delar den upp parallelltrapetsen ABCD i två parallelltrapetser och arean av de två små måste ju vara lika stor som arean av den stora.

Hej!

Förutsättningarna indikerar att fyrhörningen är ett parallelltrapets där den långa undre sidan AB är parallell med den korta övre sidan CD. Rita en sådan figur och markera mittpunkterna (M respektive N) på de två sneda sidorna AD och BC. Dra den raka linjen MN.

Är linjen MN parallell med sidan AB? Om den är det så har du tre stycken likformiga parallelltrapets: ABCD, ABNM och MNCD.

Euleroid skrev:

Försöker ställa upp en fyrhörning enligt kriterierna, men lyckas inte skapa några nyckfulla samband. Har ni några tips kring hur man ska tänka och hur tänker ni kring sådana uppgifter?

Menade du "nyckfull", eller var det en hjälpsam stavningskontroll som gjorde det ordet?

Albiki skrev:

Hej!

Förutsättningarna indikerar att fyrhörningen är ett parallelltrapets där den långa undre sidan AB är parallell med den korta övre sidan CD. Rita en sådan figur och markera mittpunkterna (M respektive N) på de två sneda sidorna AD och BC. Dra den raka linjen MN.

Är linjen MN parallell med sidan AB? Om den är det så har du tre stycken likformiga parallelltrapets: ABCD, ABNM och MNCD.

Nej, parallelltrapetserna är inte likformiga, men om du  förlänger sidorna AD och BC tills de möts i en spets får du tre likformiga trianglar.

Det räcker alltså med Ma2 för att lösa den här uppgiften. Det är viktigt att inte glömma av sina mer grundläggande mattekunskaper när man går på teknisk högskola! Det är  inte något självändamål att krångla till saker mer än nödvändigt. 

Jo, men som jag sa ovan och Albiki sade sedan. Måste man inte visa att linjen blir parallell med AB och CD eller är det ett "känt faktum" att en linje dragen mellan mittpunkterna på de ickeparallella sidorna i en parallelltrapets blir parallell med de parallella sidorna?

Laguna skrev:

Euleroid skrev:

Försöker ställa upp en fyrhörning enligt kriterierna, men lyckas inte skapa några nyckfulla samband. Har ni några tips kring hur man ska tänka och hur tänker ni kring sådana uppgifter?

Menade du "nyckfull", eller var det en hjälpsam stavningskontroll som gjorde det ordet?

Menade att de samband jag skapade var oberäkneliga, så ja jag menade nyckfull

Var ett tag sedan jag pluggade geometri så det känns som jag borde se vad jag ska göra men jag vet inte riktigt hur jag ska tänka. Så här långt har jag kommit.

Parallelltrapetser är figurer som man skolgeometrin stöter på förhållandevis sällan. I alla fall mer sällan än trianglar och parallellogram. Därför brukar jag nästan alltid finna det användbart att dela upp trapetser i en triangel och ett parallellogram genom en snitt

Det är inte nödvändigtvis så att det är användbart eller nödvändigt här men det är en operation som tillåter en att använda idéer från parallellogram och trianglar i trapetsproblem. 

Din bild stämmer, men det går att göra en mer användbar bild: Rita parallellogrammet längre ner på pappret. Förläng de sneda sidorna tills de möts. Då får du tre likformiga trianglar som kan vara användbara.

Lösning utan ord som jag inte kan hålla mig från att posta:

Lös dock problemet själv först innan du kollar på spoilern. Det är viktigt att kunna lösa problemet med normala likformighetsargument också. 

SeriousCephalopod skrev:

Lösning utan ord som jag inte kan hålla mig från att posta:

Visa spoiler

Lös dock problemet själv först innan du kollar på spoilern. Det är viktigt att kunna lösa problemet med normala likformighetsargument också. 

Extremt snygg lösning!

Hur kan jag komma vidare från detta?

Kul att se någon som också tänker göra provet i år! 

Mitt sätt att lösa den här uppgiften är extremt osofistikerat men förhoppningvis är den hjälpsam på något sätt.

Jag tänker att sträcken AB omvandlas till sträckan CD linjärt eftersom sidorna BC och AD är linjer. Därmed är det enbart logiskt att sidan AB enbart hinner förminskas hälften så mycket som den ska när den når MN då det är precis halvägs och funktionen av sträckans längd är linjär.

Hoppas att det går att förstå, annars kan jag rita en bild på vad jag menar. Inte alls komplicerat.

Hej!

Vad roligt att du också ska skriva iår.

Fattar din lösning typ tror jag. Förstår det som att  pga likformigheten så är sidorna proptionerliga och därför kan man anta att sträckan blir hälften av summan av sträckorna a och b. 

Euleroid skrev:

Hej!

Vad roligt att du också ska skriva iår.

Fattar din lösning typ tror jag. Förstår det som att  pga likformigheten så är sidorna proptionerliga och därför kan man anta att sträckan blir hälften av summan av sträckorna a och b. 

Exakt men du behöver inte veta att MN är parallel med AB eller CD, enbart att AB och CD är parallella eftersom det implicerar linjäritet av tranformationen från AB till CD.

Tack så mycket tfKTHSNÄLLA. Stort lycka till och hoppas det går hela vägen för dig😀. Hoppas du kommer in på teknisk fysik på KTH nu i höst🤗.

SeriousCelphalpod, väldigt bra och pedagogisk lösning av dig👏.