Uppgift 29 KTH/Chalmers matematik och fysikprov 2014, mattedel (Matematik/Matte 4)

Flyttade tråden från Kluringar till Ma4, som är den matematik-nivå man beräknas behärska om man söker till teknisk högskola.

Hur har du tänkt själv? Det står i Pluggakutens regler att du skall visa hur du har försökt och hur långt du har kommit. /moderator

Euleroid skrev:
29. Givet en rektangel med area 3 areaenheter och vinkel mellan diagonalerna 30 grader , bestäm och ange rektangelns omkrets.

Skulle någon kunna visa mig en fullständig uträckning på denna uppgift?

Euleroid skrev:
Euleroid skrev:
29. Givet en rektangel med area 3 areaenheter och vinkel mellan diagonalerna 30 grader , bestäm och ange rektangelns omkrets.

Skulle någon kunna visa mig en fullständig uträckning på denna uppgift?

Tänkte ungefär såhär. Tydligen fel, man ska få ett numeriskt värde.

Du har inte använt att du vet rektangelns area.

Laguna skrev:
Du har inte använt att du vet rektangelns area.

Hur skulle det utrycket se ut?

Euleroid skrev:
Laguna skrev:
Du har inte använt att du vet rektangelns area.
Hur skulle det utrycket se ut?

Titta på ditt papper. Du har skrivit det uppe till höger.

Hur är det med de här Ma/Fy-proven, får man använda en formelsamling där det står t ex tan(a-b)?

Smaragdalena skrev:
Hur är det med de här Ma/Fy-proven, får man använda en formelsamling där det står t ex tan(a-b)?

Inga formelsamlngar och inga mineräknare på provet.

Laguna skrev:
Euleroid skrev:
Laguna skrev:
Du har inte använt att du vet rektangelns area.
Hur skulle det utrycket se ut?
Titta på ditt papper. Du har skrivit det uppe till höger.

Är det b * l = 3, du menar

Hänger inte med laguna. Använde jag inte sambandet för area i sinussatsen? Eller finns det fler utryck för area?

Om du använder dig av att lb=3 kan du eliminera en av variablerna och förmodligen går det att förkorta bort den andra så småningom.

Förstår inte riktigt hur det utrycket skulle se ut, ska jag använda mig av areasatsen?

Behåll t ex b där det står i dina formler men ersätt l med 3/b.

Hur ska jag förenkla det i slutet ?

Jag har i alla fall svårt att hänga med i vad du gör. Det verkar som om du börjar med att använda sinussatsen.Med lite möda hänger jag med på att du har räknat fram att $l=\sqrt3b$ . Sedsn utnyttjar du att arean är 3 ae och försöker ta fram ett värde på b. Jag förstår inte varför du inte förkortar $\frac{3}{\sqrt3}$ till $\sqrt3$ , som skulle göra det betydligt mer lättläst. Du kommer alltså fram till att $b = \sqrt[4]{3}$ och att $l = \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{3^{3}}$ . På sista raden har du skrivit ett uttryck för omkretsen.

Allt detta borde framgå tydligt av din redovisning, jag skall inte behöva sitta häör och gissa hur du har tänkt.

När det gäller uttrycket för omkretsen, så kan du i alla fall skriva om första termen i parentesen till en produkt och sedan bryta ut 3^3/4. Då blir resten av parentesen något trevligt.

Till och börja med, likheten du sätter upp $\frac{\sin 30}{\frac{3}{l}} = \frac{\sin 150}{\frac{3}{b}}$ Hur motiverar du den?

Du borde i detta läge bara byta den ena mot uttrycket av arean då får du en ekvation som bara beror på en variabel, därmed är den lösbar. Dock inte detta uttryck påstår jag men något liknande.

Sedan så är sin 150 =1/2 inte $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Känns som jag krånglar till det. Tips någon?

Euleroid skrev:
Känns som jag krånglar till det. Tips någon?

Läs igenom hela tråden. Välj vilka råd du vill följa och skriv en väl strukturerad redogörelse för hur du kommer fram till svaret.

tan(15) =b/l

b*l = 3

lös detta ekvations system så kan du sedan räkna ut omkretsen.

Observera att det endast krävs kunskaper i matematik 1a och matematik 2a för denna uppgift.

Hur fick du tan(15)?

Tendo skrev:
Observera att det endast krävs kunskaper i matematik 1a och matematik 2a för denna uppgift.

Vad får dig att skriva detta? Står det någonstans att det räcker med så låga kunskaper i matematik för att klara inträdesprovet till Chalmers?

Tendo skrev:
Observera att det endast krävs kunskaper i matematik 1a och matematik 2a för denna uppgift.

Detta stämmer inte. Man lär sig inte trigonometri i Ma1a.

Hej!

Figuren indikerar att tangensvärdet $\tan 15^\circ$ är lika med kvoten $\frac{b/2}{l/2}$ , vilket låter dig uttrycka sidan $b$ som

$b = l \tan 15^{\circ}.$

Rektangelns area är $3$ och kan skrivas $b \cdot l = l^2 \tan 15^{\circ}$ vilket ger

$l = \sqrt{\frac{3}{\tan 15^{\circ}}}$

och följaktligen

$b = \sqrt{\frac{3}{\tan 15^{\circ}}}\cdot \tan 15^{\circ} = \sqrt{3\tan 15^{\circ}}.$

Rektangelns omkrets blir därför $2(b+l) = ...$

Tendo får nog gärna visa hur han löser detta med bara Ma1a och Ma2a kunskaper. Som Smaragdalena säger ingår inte trigonometri i Ma1a. I Ma1c ingår bara trigonometri i rätvinkliga trianglar.

Notera också att du inte får använda räknare på provet och svaret innehåller inte tan 15. 15 grader är ingen standardvinkel.

Jag har löst detta men det kräver sinus (a+b) och sin (a-b) vilket är Ma4, eftersom man inte får använda en formelsamling har jag letat efter något sätt som inte kräver att man skall komma ihåg dessa.

Det gör inget, man får använda sig av addition och subtrationsformlerna för sin och cosinus. Det gäller bara att komma ihåg hur formlerna såg ut.

Visa mig gärna din tankegång.

Om vi ser på den triangel där vi har vinkeln 30 grader så är arean av denna 1/4 av arean av den totala rektangeln.

Areasatsen ger oss att arean av denna triangel blir (förutsatt att vi kallar halva diagonalen av rektangeln för a)

$\frac{a^{2} \sin 30}{2} = \frac{3}{4} \frac{a^{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{3}{4} a^{2} = 3 a = \sqrt{3}$

Vi har nu en rätvinklig triangel med kateterna b och l samt hypotenusan $2 \sqrt{3}$ . Vinklarna i denna blir 15 och 75.

Då får vi att:

$b = 2 a \sin 15 h = 2 a \sin 75$

Nu behöver vi "bara" beräkna sin 15 och sin 75 (eller cos 15) I vilket fall behöver vi tydligen här komma ihåg addition ich subtraktionsformlerna för sin så vi kan skriva:

$\sin 15 = \sin (45 - 30) = \sin 45 \cos 30 - \sin 30 \cos 45 = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} \sin 75 = \sin (45 + 30) = \sin 45 \cos 30 + \sin 30 \cos 45 = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2 \sqrt{2}}$

därmed blir

$b = 2 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} h = 2 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{2}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

omkretsen blir nu

$2 b + 2 h = 2 \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} + 2 \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (3 - \sqrt{3}) + \sqrt{2} (3 - \sqrt{3)} = 3 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{3} = 6 \sqrt{2}$

Tack så hemskt mycket Anders W. Mycket bra gjort