Uppgift 27 matematikprov 2012

Förstaderivatan är inte rätt. Har du provderiverat den? Om ja, så kom ihåg att den måste deriveras med kedjeregeln (eller kvotregeln, om du skriver om till ett bråk).

$\frac{1}{\cos^2(x)}$ är derivatan till en av de vanliga trigonometriska funktionerna.

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-3 \frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}+C \\ f\text{'}(\mathrm{\pi }/4)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-2 \\ \mathrm{C}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0 \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\hspace{0.17em}= 0 \\ \hspace{0.17em}-3 \frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}+\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}} =\hspace{0.17em}0 \\ -3{\cos }^2\mathrm{x}+{\sin }^2\mathrm{x}=0 \\ {\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}=1 \\ {\sin }^2\mathrm{x}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1-{\cos }^2\mathrm{x} \\ 1-4{\cos }^2\mathrm{x}=0 \\ \mathrm{cosx} = \frac{1}{2} \\ \mathrm{x} =\hspace{0.17em}\pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }\times \mathrm{n} \\ 0<\mathrm{x}<\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \mathrm{x}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

Hade svårt att inse att primitiva funktionen var, dvs vad f'(x) var. Finns det någon formel som gör det enklare att inse?

$$\begin{gathered} f\left(x\right) =\hspace{0.17em}\tan x \\ f\text{'}\left(x\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{{\cos }^{2}x} \end{gathered}$$

Såklart