Uppgift 2247 bevisa subtraktionsformel för cosinus

Har du bevisat additionsformeln kan du använda dig av den:
$\cos (u-v)=\cos (u+(-v\left)\right)$

Menar du att jag kan använda mig av additionsformeln för uttrycket cos(u+(-v))?

Precis, det är nog precis det som Groblix menar. Förutsatt att du har bevisat additionsformeln, så är det nog det enklaste sättet att visa subtraktionsformeln.

Använd dig av:
Uttryck avståndet  PQ på 2 sätt:
1. Cosinussatsen på triangeln  QPO
2. avståndsformeln

Sätt uttrycken lika med varandra och förenkla.

Hur kan vinkeln u-v vara lika stor som u?

I 2246 bevisade du additionsformeln. Den är väldigt lik det du ska bevisa nu som Groblix påpekade.

Cos(t)=Sin(90-t) 

Cos(90-t)=sin(t)

U+v=t

Cos(90-(u+v)) = cos(90)• cos(u+v)+Sin(90)•sin(u+v)

= sin(u+v)=sin(t)=Cos(90-t)

Katarina149 skrev:

Hur kan vinkeln u-v vara lika stor som u?

Det är den inte. Se noga i figuren. U går hela vägen till x-axeln.
Att bevisa subtraktionsformler genom att använda addidtionformler som man i sin tur bevisat genom att använda subtraktionsformler känns lite som ett cirkelbevis. Men det är nog det som boken vill att du skall göra.

Jag visar här hela beviset som jag hade i åtanke, som referens om någon behöver det.

Uttryck PQ = d på två olika sätt:

Cosinussatsen på triangeln QPO ger: $d^2=1^2+1^2-2·1·1·\cos (u-v)$
Avståndsformeln ger: $d^2={(\cos u-\cos v)}^2+{(\sin u -\sin v)}^2$

Sätt uttrycken för d² lika och förenkla: 

$$\begin{gathered} 1^2+1^2-2·1·1·\cos (u-v)={(\cos u-\cos v)}^2+{(\sin u -\sin v)}^2 \\ 2-2\cos (u-v)={\cos }^{2}u-2\cos u·\cos v +{\cos }^{2}v+{\sin }^{2}u-2\sin u·\sin v+{\sin }^{2}v \\ 2-2\cos (u-v)={\sin }^{2}u+{\cos }^{2}u+{\sin }^{2}v+{\cos }^{2}v-2\cos u·\cos v-2\sin u·\sin v \\ 2-2\cos (u-v)=1+1-2\cos u·\cos v-2\sin u·\sin v \\ \cancel{2}-2\cos (u-v)=\cancel{1+1}-2\cos u·\cos v-2\sin u·\sin v \\ \cancel{-2}\cos (u-v)=\cancel{-2}\cos u·\cos v\cancel{-2}\sin u·\sin v \\ \cos (u-v)=\cos u·\cos v-\sin u·\sin v \end{gathered}$$

Q.E.D

Jag förstår inte din förklaring. Det känns för svårt att hänga med