Uppgift 22 matematikprov 2011

Jag använder pq-formeln för att se vilka a-värden som skulle ge positiva lösningar.

$3 x^{2} + a x - (a^{2} - 1) = 0 x^{2} + \frac{a x}{3} - \frac{a^{2} - 1}{3} = 0 x = - \frac{a}{6} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{36} + \frac{a^{2} - 1}{3}} x = - \frac{a}{6} \pm \frac{\sqrt{13 a^{2} - 12}}{6} a < 0 f ö r a t t a l l a l ö s n i n g a r s k a v a r a p o s i t i v a O m d e t b a r a s k a f i n n a s p o s i t i v a l ö s n i n g a r m å s t e - \frac{a}{6} > \frac{\sqrt{13 a^{2} - 12}}{6} K o l l a r n ä r d e ä r l i k a s t o r a : - \frac{a}{6} = \frac{\sqrt{13 a^{2} - 12}}{6} a^{2} = 13 a^{2} - 12 12 a^{2} = 12 a = \pm 1 o m a s k a v a r a s t ö r r e e l l e r m i n d r e ä n 1 ä r i r r e l e v a n t a t t u n d e r s ö k a d å v i r e d a n v e t a t t a < 0 o m - 1 < a < - 1 u n d e r s ö k s i s t ä l l e t H u r g ö r j a g a l g e b r a i s k t o c h i n t e g e n o m a t t t e s t a v ä r d e n ? S v a r e t s k a v a r a a = - \frac{2 \sqrt{39}}{13}$

Kravet att lösningarna måste vara reella innebär att diskriminanten inte får vara negativ. Du kan alltså använda villkoret

$13a^2 - 12 \geq 0$

Ok, tack Skaft. Då vet jag vad diskriminant betyder och att $a \geq \frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{13}} a \leq - \frac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{13}}$

Vet fortfarande inte hur jag kommer fram till svaret. Tack på förhand!

Men du har ju också att $a$ inte får vara positivt. Alltså kan bara den ena av de där två lösningarna gälla: $a \leq - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$ .

Notera sen att man frågar efter det största a-värdet. Enligt olikheten är det $a=-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$ . Men bråk kan skrivas på många olika sätt. Prova t.ex. att förlänga det med $\sqrt{13}$ .

Tack Skaft, du är ett geni! Vet du om det är praxis att skriva om svar så att det inte finns roten ur något tal i nämnaren? Märker nämligen att de alltid gör det i facit på alla mafy-proven.

Det finns en sån konvention som vissa följer, men om det inte står uttryckligen att svaren ska se ut så kan jag inte tro att man förväntas följa den.

Jag vet inte riktigt var konventionen kommer ifrån, men för egen del har jag mycket lättare att förstå talet om det står som $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (roten ur 2, halvera sen) snarare än $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (roten ur 2, ???). Det senare blir liksom mer abstrakt. Så kanske har det att göra med att underlätta läsarens taluppfattning? Who knows.

Jaha ok, tack så mycket Skaft för all hjälp. Uppskattas mycket!

Svara

Visa senaste svar