Uppgift 20 mattedelen 2018

I en regelbunden månghörning är alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. 

I en regelbunden femhörning är alla sidor lika långa, vilket är en bra ledtråd.

Smaragdalena skrev:

I en regelbunden månghörning är alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. 

Ok. Jag förstår. Jag vill ju räkna förhållandet d/a. Hur kommer jag vidare?

Triangeln ABC  är likbent. Beräkna vinklarna i den, så borde du kunna komma vidare.

Ture skrev:

Triangeln ABC  är likbent. Beräkna vinklarna i den, så borde du kunna komma vidare.

Jag körde cosinussatsen för att ta reda på vinkel hörnet i A ,men då får jag uttryck för den vinkel

Utnyttja att vinkelsumman för en femhörning är 540 grader 

En sak här att tänka på är att räknare är ej tillåtet, men med Tures hjälp i början av tråden får vi en ledtråd.

Vi kan undersöka de fyra alternativen ganska fort om vi gör en uppskattning av rot 5 som är ungefär 2,3. Det underlättar om man kommer ihåg att 25 ggr 25 = 625. Då förstår vi att rot 5 är mer än 2 och mindre än 2,5.
Då ser vi vilka förhållanden som är rimliga. Två av alternativen faller genast bort.

Ytterligare tips kanske behövs?

Om vi tittar på a)  $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx \frac{2,3-1}{2}\approx \frac{1,3}{2}$om vi nu tänker att detta är d/a då ska d vara mindre än a. Alltså kan vi utesluta alternativ a). Det blir ingen stor skillnad med 2,2 heller utan det ger samma resultat.
Ett till alternativ till kan uteslutas på detta sätt. 

Sist har vi två alternativ kvar. Då kan vi jämföra om d blir mer än dubbelt så stor som a eller mindre än dubbelt så stor. Där kommer Tures tips in. Om du tittar på figuren så kan du avgöra det. Ett tips är att en liksidig triangel har lika stora sidor, men en likbent triangel kan ha två längre sidor eller två kortare sidor beroende på den vinkel som skiljer sig mot de andra två.

Många smarta lösningen här i tråden! Min spontana tanke när jag såg detta var denna: vinkeln mellan två sidor är 108°, vilket innebär att vi kan dela den triangel som har sidorna a, a och d, på mitten. Då får vi en rätvinklig triangel med sidorna a, d/2 och en vinkel på 54°. Om vi låter a vara 1 (för enkelhetens skull) är då d/2 lika med $2·\sin (54°)$. Eftersom vi satt a till 1, får förhållandet d/a också detta värde. 

sin(54°) är inget standardvärde, men det är inte så långt ifrån sin(45°), som vi vet är lika med $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Om vi fortsätter uppåt hamnar vi på sin(90°), som har värdet 1.

Värdet av $2\sin (54°)$ ligger alltså någonstans mellan $\sqrt{2}$ och 2, lite närmare roten ur två, än två. En kvalificerad uppskattning av förhållandet är därför 1,6 eller 1,7. En trevlig observation att göra är att detta värde är större än 3/2. 

(a): För att vi ska få ett värde större än 3/2, skulle det behöva stå något större än $\sqrt{16}-1=4-1=3$ i täljaren. Det gör det inte, så (a) kan vi utesluta. 

(b): Värdet är mindre än ett, och kan uteslutas direkt. 

(c): Roten ur fem är ungefär 2,2 (uppskattningen 2,3 fungerar också bra). Bråket här blir alltså runt 3,2 / 2, vilket passar med vårt värde som ska vara lite större än 3/2 (det går såklart också att räkna ut bråket till ungefär 1,6, vilket är det värde vi letar efter). (c) är rätt svar. 

För säkerhets skull (d): Förläng med konjugatet för att bli av med bråket i nämnaren

$\frac{{\left(\sqrt{5}+1\right)}^2}{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}=\frac{5+2\sqrt{5}+1}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx \frac{5}{2}$

som ligger över vår övre gräns (2). 

Snyggt jobbat Smutstvätt. Lite närmare en uträknad lösning.

En sak jag försökt med är att få till täljaren till $\sqrt{5}+1$som är längden på diagonallängden d.
Vi har ju att sidan a = 2. Det ser vi av svaret i c) som är det rätta.
Att det stämmer är inte svårt att kontrollera med GeoGebra eller grafräknare, men borde det inte gå med beräkningar med hjälp av geometri utan räknare?
Kanske något att bita i så här på söndagen för den som gillar kluringar?

Här kommer en möjlig lösning.

Vi har två likformiga trianglar, markerade med gult. Då kan vi sätta upp förhållandena mellan sidorna.

$\frac{a}{d}=\frac{d-a}{a} \iff a^2=d(d-a)$Om vi nu tror att alternativ c) är rätt så har vi $\frac{d}{a}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Sätter vi in de värdena i formeln dvs. $a=2$och $d=\sqrt{5}+1$så får vi att 4 = 4, vilket är sant. Så alternativ c) är rätt.

Vi hade också kunnat sätta in värdet 2 för a och då fått $4=d(d-2)$
Det ger $4=d^2-2d.$Om vi adderar 1 till bägge sidor så kan vi använda en av kvadreringsreglerna.

$5=d^2-2d+1$$\iff 5={(d-1)}^2$och $d-1=\sqrt{5}$vilket ger $d=\sqrt{5}+1$. Vilket vi ville visa.

Det sista är väl knappast något man gör på ett prov, men formeln vi fick fram med hjälp av likformiga trianglar skulle kunna var ett bra alternativ för att kunna prova de fyra alternativen.

Så lätt det blev när man ser lösningen!

Snyggt jobbat😎

/ T

ConnyN skrev:

Här kommer en möjlig lösning.

Vi har två likformiga trianglar, markerade med gult. Då kan vi sätta upp förhållandena mellan sidorna.

$\frac{a}{d}=\frac{d-a}{a} \iff a^2=d(d-a)$Om vi nu tror att alternativ c) är rätt så har vi $\frac{d}{a}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Sätter vi in de värdena i formeln dvs. $a=2$och $d=\sqrt{5}+1$så får vi att 4 = 4, vilket är sant. Så alternativ c) är rätt.

Vi hade också kunnat sätta in värdet 2 för a och då fått $4=d(d-2)$
Det ger $4=d^2-2d.$Om vi adderar 1 till bägge sidor så kan vi använda en av kvadreringsreglerna.

$5=d^2-2d+1$$\iff 5={(d-1)}^2$och $d-1=\sqrt{5}$vilket ger $d=\sqrt{5}+1$. Vilket vi ville visa.

Det sista är väl knappast något man gör på ett prov, men formeln vi fick fram med hjälp av likformiga trianglar skulle kunna var ett bra alternativ för att kunna prova de fyra alternativen.

Smart! Hur kom du på att vinkeln är 108 grader i mitten ?

Som Ture påpekade så är vinkelsumman i en femhörning 540^o
Vi delar den med fem och får 108⁰ Sedan finns många möjliga vägar att gå.
En möjlighet är att vi har en likbent triangel med sidorna a längst ned. Om vi delar den i två lika delar så får vi två rätvinkliga trianglar som delar vinkeln 108^o i två delar till 54^o, vilket i sin tur gör att vi får vinklarna 36^o givna. Då blir det givet att vi har två 108^o vinklar som möts i mitten.

Prova att räkna ut vinklarna, så tror jag att du ganska fort ser mönstret med de stora trianglarna som hör till varje hörn med 108^o i mitten och 36^o i de två spetsiga vinklarna.

ConnyN skrev:

Som Ture påpekade så är vinkelsumman i en femhörning 540^o
Vi delar den med fem och får 108⁰ Sedan finns många möjliga vägar att gå.
En möjlighet är att vi har en likbent triangel med sidorna a längst ned. Om vi delar den i två lika delar så får vi två rätvinkliga trianglar som delar vinkeln 108^o i två delar till 54^o, vilket i sin tur gör att vi får vinklarna 36^o givna. Då blir det givet att vi har två 108^o vinklar som möts i mitten.

Prova att räkna ut vinklarna, så tror jag att du ganska fort ser mönstret med de stora trianglarna som hör till varje hörn med 108^o i mitten och 36^o i de två spetsiga vinklarna.

Hm okej jag är lite osäker på hur du menar där du fick 36 respektive 54 grader. Men att vinklarna lika stora ger oss 108 grader pga femhörning vinkelsumma förstår jag.  Visa gärna en bild så förstår jag vad du menar 

destiny99 skrev:

Hm okej jag är lite osäker på hur du menar där du fick 36 respektive 54 grader. Men att vinklarna lika stora ger oss 108 grader pga femhörning vinkelsumma förstår jag.  Visa gärna en bild så förstår jag vad du menar 

Om du delar den mitt itu så blir det 54^o och vi får en vinkel på 90^o då är den tredje vinkeln 36^o.

Det bästa är att du ritar och klurar lite själv. Den lilla sidan (d-a) var den som tog längst tid för mig att se, men det var för att jag ritade en figur och räknade ut alla vinklar. Då såg jag plötsligt samband som att vi har en romb i nerkant med två trianglar som är exakt lika och att alla fyra sidorna är a långa. Då såg jag att de två övre trianglarna som jag gulmärkt, är likformiga och att den korta sidan i den övre triangeln var d-a lång.
Som sagt rita och klura är ett bra råd i geometri. Ibland vinner man mycket på att förlänga linjer så att man ser nya samband. För mig har det varit viktigt att ta fram matte1 och matte2 och gå igenom grunderna flera gånger. Det finns människor som ser det en gång och sedan kommer ihåg allt. Dit hör inte jag, men jag brukar trösta mig med att, har jag väl fått in det i långtidsminnet då sitter det kvar mycket länge.

ConnyN skrev:

destiny99 skrev:

Hm okej jag är lite osäker på hur du menar där du fick 36 respektive 54 grader. Men att vinklarna lika stora ger oss 108 grader pga femhörning vinkelsumma förstår jag.  Visa gärna en bild så förstår jag vad du menar 

Om du delar den mitt itu så blir det 54^o och vi får en vinkel på 90^o då är den tredje vinkeln 36^o.

Det bästa är att du ritar och klurar lite själv. Den lilla sidan (d-a) var den som tog längst tid för mig att se, men det var för att jag ritade en figur och räknade ut alla vinklar. Då såg jag plötsligt samband som att vi har en romb i nerkant med två trianglar som är exakt lika och att alla fyra sidorna är a långa. Då såg jag att de två övre trianglarna som jag gulmärkt, är likformiga och att den korta sidan i den övre triangeln var d-a lång.
Som sagt rita och klura är ett bra råd i geometri. Ibland vinner man mycket på att förlänga linjer så att man ser nya samband. För mig har det varit viktigt att ta fram matte1 och matte2 och gå igenom grunderna flera gånger. Det finns människor som ser det en gång och sedan kommer ihåg allt. Dit hör inte jag, men jag brukar trösta mig med att, har jag väl fått in det i långtidsminnet då sitter det kvar mycket länge.

destiny99 skrev:

ConnyN skrev:

Visa föregående citat

destiny99 skrev:

Hm okej jag är lite osäker på hur du menar där du fick 36 respektive 54 grader. Men att vinklarna lika stora ger oss 108 grader pga femhörning vinkelsumma förstår jag.  Visa gärna en bild så förstår jag vad du menar 

Om du delar den mitt itu så blir det 54^o och vi får en vinkel på 90^o då är den tredje vinkeln 36^o.

Det bästa är att du ritar och klurar lite själv. Den lilla sidan (d-a) var den som tog längst tid för mig att se, men det var för att jag ritade en figur och räknade ut alla vinklar. Då såg jag plötsligt samband som att vi har en romb i nerkant med två trianglar som är exakt lika och att alla fyra sidorna är a långa. Då såg jag att de två övre trianglarna som jag gulmärkt, är likformiga och att den korta sidan i den övre triangeln var d-a lång.
Som sagt rita och klura är ett bra råd i geometri. Ibland vinner man mycket på att förlänga linjer så att man ser nya samband. För mig har det varit viktigt att ta fram matte1 och matte2 och gå igenom grunderna flera gånger. Det finns människor som ser det en gång och sedan kommer ihåg allt. Dit hör inte jag, men jag brukar trösta mig med att, har jag väl fått in det i långtidsminnet då sitter det kvar mycket länge.

Om du räknar lite också så ser du att i en triangel som är likbent med mittvinkeln 108 grader så måste de två sidovinklarna vara summa 72 grader och alltså 36 grader vardera. Din bild är inte så bra att utgå ifrån då den ser ut att ha räta vinklar uppe. Den första figuren du ritade ser mer riktig ut. 54 grader får du när du delar den nedre triangeln i mitten.
Ingen av diagonalerna delar någon av de fem 108 gradersvinklarna i två lika delar.

ConnyN skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

ConnyN skrev:

destiny99 skrev:

Hm okej jag är lite osäker på hur du menar där du fick 36 respektive 54 grader. Men att vinklarna lika stora ger oss 108 grader pga femhörning vinkelsumma förstår jag.  Visa gärna en bild så förstår jag vad du menar 

Om du delar den mitt itu så blir det 54^o och vi får en vinkel på 90^o då är den tredje vinkeln 36^o.

Det bästa är att du ritar och klurar lite själv. Den lilla sidan (d-a) var den som tog längst tid för mig att se, men det var för att jag ritade en figur och räknade ut alla vinklar. Då såg jag plötsligt samband som att vi har en romb i nerkant med två trianglar som är exakt lika och att alla fyra sidorna är a långa. Då såg jag att de två övre trianglarna som jag gulmärkt, är likformiga och att den korta sidan i den övre triangeln var d-a lång.
Som sagt rita och klura är ett bra råd i geometri. Ibland vinner man mycket på att förlänga linjer så att man ser nya samband. För mig har det varit viktigt att ta fram matte1 och matte2 och gå igenom grunderna flera gånger. Det finns människor som ser det en gång och sedan kommer ihåg allt. Dit hör inte jag, men jag brukar trösta mig med att, har jag väl fått in det i långtidsminnet då sitter det kvar mycket länge.

Om du räknar lite också så ser du att i en triangel som är likbent med mittvinkeln 108 grader så måste de två sidovinklarna vara summa 72 grader och alltså 36 grader vardera. Din bild är inte så bra att utgå ifrån då den ser ut att ha räta vinklar uppe. Den första figuren du ritade ser mer riktig ut. 54 grader får du när du delar den nedre triangeln i mitten.
Ingen av diagonalerna delar någon av de fem 108 gradersvinklarna i två lika delar.

Ja jag får sudda allt. Jag vet ej hur en korrekt figur bör vara. Jag prövar fråga någon av livehjälpare idag så blir det tydligt kanske. Tack för hjälpen!

Här är en regelbunden pentagon - alla sidor är lika långa, alla vinklar är lika stora.

Utan att jag visste om det så har vi tydligen räknat på något som heter "Gyllene snittet"
I en länk på diva portal hittade jag denna studentuppsats om gyllene snittet. LÄNK

En femhörnings diagonaler beräknas i uppsatsen. Den fullständiga beräkningsgången finns i Appendix 2 i den nämnda uppsatsen. Här kommer en bild med alla diagonaler.

Som framgår av bilden så får vi då lite andra vinklar att fundera på.

Edit: Jag glömde infoga ett citat ur uppsatsen. Ekvationen ser bekant ut eller hur 😊.

Jag undrade om det var värt att nämna det, men tänkte att det nog var för få som kände till det för att det skulle vara en funderande metod. 😅

Tar vi a/d = (d-a)/a som följer ur likformigheten (#12),
skriver om det som d² - ad - a² = 0,
så ges (c) direkt av pq-formeln.

Smutstvätt skrev:

Jag undrade om det var värt att nämna det, men tänkte att det nog var för få som kände till det för att det skulle vara en funderande metod. 😅

Menar du fungerande? Jag gillar den ursprungliga varianten!

Hahaha ja fungerande skulle det vara. :)

Jag har svårt att se något elegantare sätt än Connys likformighet att finna sambandet mellan a och d,
där den enda knepigheten var att se att diagonalerna delar varandra i delarna a och d-a.
Som jag skrev i #24 kan man sedan använda pq-formeln på d² - ad - a² = 0 för att få (c) direkt,
så att frågan kunde ha varit att ställa upp detta samband (utan alternativ).

Bara för att visa det antagligen finns en rad vägar att gå är detta en osofistikerad variant
med lite mer räkning men utan så mycket tankeverksamhet.

Den nedersta diagonalen delas av höjden i delarna (a-b)/2 (till höger) och (a+b)/2.
Höjdens kvadrat skriven på två sätt med Pythagoras sats ger samma d² - ad - a² = 0.

Tillägg: 21 mar 2023 22:48

Det ska förstås vara (d-a)/2 och (d+a)/2 på näst sista raden.