Uppgift 20 (Matematik/MaFy (mattedelen))

Det luktar Herons formel för arean av en triangel.
Finns det någon fråga?

Mogens skrev:
Det luktar Herons formel för arean av en triangel.
Finns det någon fråga?

Nu vet jag ej om du ser min bild ovanför min försöks lösning så står det uppgiften plus alternativen. Varför bör just heronsformel vara aktuell här?

Mogens skrev:
Det luktar Herons formel för arean av en triangel.
Finns det någon fråga?

Så om man använder areasatsen så behöver vi väl någon vinkel ?

Vad står det i nämnaren på d?

Laguna skrev:
Vad står det i nämnaren på d?

2c

Jag antog att det är en likbent triangel och fick detta

Man kan utesluta ett par av dem genom att de går mot oändligheten när c går mot 0.

Laguna skrev:
Man kan utesluta ett par av dem genom att de går mot oändligheten när c går mot 0.

Eller använda 345 triangel metoden och tänka a=3 b=4 och c =5. Dock blir det krångligt när man ska multiplicera in variablerna . Tips på hur man kan göra det snabbare i a-d ? Tar ju tid o förenkla osv

destiny99 skrev:
Mogens skrev:
Det luktar Herons formel för arean av en triangel.
Finns det någon fråga?

Nu vet jag ej om du ser min bild ovanför min försöks lösning så står det uppgiften plus alternativen. Varför bör just heronsformel vara aktuell här?

Aha, det gällde att hitta rätt alternativ av a, b, c, d. Det borde jag kanske fattat.

Mogens skrev:
destiny99 skrev:
Mogens skrev:
Det luktar Herons formel för arean av en triangel.
Finns det någon fråga?

Nu vet jag ej om du ser min bild ovanför min försöks lösning så står det uppgiften plus alternativen. Varför bör just heronsformel vara aktuell här?

Aha, det gällde att hitta rätt alternativ av a, b, c, d. Det borde jag kanske fattat.

Precis. I en annan tråd sägs det att det ska vara lättare att hitta rätvinklig triangel 3-4-5 och sen stoppa in i formlerna men det blir så jobbigt att stoppa multiplicera a) tex. Hur kan man räkna a och c) snabbare? Det är priotering reglerna såklart

Om bägge led multipliceras med c och delas med 2 får vi ch_c / 2 i vänsterledet, dvs triangelns area. Vilket av uttrycken i högerledet kommer vara triangelarean?

Mogens skrev:
Om bägge led multipliceras med c och delas med 2 får vi ch_c / 2 i vänsterledet, dvs triangelns area. Vilket av uttrycken i högerledet kommer vara triangelarean?

Hm det är så mycket uttryck i högerledet så svårt att avgöra vilken av dem som motsvarar triangelarean. spontant säger jag att det ej är a) pga 2an i täljaren under roten ur ,men de andra är jag osäker

Fördelen med min metod är att du slipper beräkna höjden. Du kan ta t ex 3–4–5triangeln vars area är 6 och se vilka av högeruttrycken som inte blir 6.

Min gissning är att du bara får alternativ (c) kvar. Men det säger inte att det alternativet funkar för alla trianglar. Om man känner till Herons formel inser man att (c) är korrekt, men jag förmodar att den aldrig nämnts, så det är en svag ledning. Och att härleda den formeln är ganska omfattande, knappast rimligt som övning.

Mogens skrev:
Fördelen med min metod är att du slipper beräkna höjden. Du kan ta t ex 3–4–5triangeln vars area är 6 och se vilka av högeruttrycken som inte blir 6.

Min gissning är att du bara får alternativ (c) kvar. Men det säger inte att det alternativet funkar för alla trianglar. Om man känner till Herons formel inser man att (c) är korrekt, men jag förmodar att den aldrig nämnts, så det är en svag ledning. Och att härleda den formeln är ganska omfattande, knappast rimligt som övning.

Okej jag förstår tyvärr ej varför alternativ c är rätt. Jag är ej så övertygad än , kom ej fram till det personligen. Som jag sa a) verkar ej passa pga din metod men då behöver jag räkna b och d för att se om det blir rätt area som vår test triangel vi utgår ifrån

Under rottecknet får du i (c) med 3–4–5

12*2*4*6 = 4*3*2*4*2*3

Roten ur det är 2*3*4

Vi ska dela med 4, så högerledet är 6.

Mogens skrev:
Under rottecknet får du i (c) med 3–4–5

12*2*4*6 = 4*3*2*4*2*3

Roten ur det är 2*3*4

Vi ska dela med 4, så högerledet är 6.

Dela med 4? Jag delade med 8. För att c är 4 så 2*4=8. Kan du visa hur du får b , c och d?

Står det i uppgiften att 1 alternativ är rätt? Att högst ett alternativ är rätt?

I så fall funkar min metod.

Men om du behöver bevisa att (c) är riktigt så är det en jobbig uppgift. För jobbig.

Mogens skrev:
Står det i uppgiften att 1 alternativ är rätt? Att högst ett alternativ är rätt?

I så fall funkar min metod.

Men om du behöver bevisa att (c) är riktigt så är det en jobbig uppgift. För jobbig.

c är rätt svar. Facit har ingen vägledning tyvärr . Det finns endast ett svar på dessa frågor på det här provet.

i högerledet har du 2c.

Du multiplicerar båda led med c och delar med 2.

Det ger 4 i högerledets nämnare

Mogens skrev:
i högerledet har du 2c.

Du multiplicerar båda led med c och delar med 2.

Det ger 4 i högerledets nämnare

Jag hänger ej med faktiskt . Du sa att arean är A= c*hc/2

Vi tittar på (c)

I nämnaren till höger står det 2c.

Om båda led tas gånger c/2 så får du

Till vänster: basen gånger höjden genom två, dvs triangelns area.

Till höger: Ett långt rottuttryck delat med 4.

Om (c) ska stämma måste högerledet ge triangelns area för alla tänkbara trianglar.

Jag visade (22:43) att högerledet ger triangelarean för en 3-4-5-triangel.

Men det säger inget om alla andra trianglar.

Mogens skrev:
Vi tittar på (c)

I nämnaren till höger står det 2c.

Om båda led tas gånger c/2 så får du

Till vänster: basen gånger höjden genom två, dvs triangelns area.

Till höger: Ett långt rottuttryck delat med 4.

Om (c) ska stämma måste högerledet ge triangelns area för alla tänkbara trianglar.

Jag visade (22:43) att högerledet ger triangelarean för en 3-4-5-triangel.

Men det säger inget om alla andra trianglar.

Jag har gjort som du säger men logiken bakom varför just c är rätt svar är jag ej med. Att arean är 6 för 345 triangel är jag Med. Hur ska jag visa det i a-d alternativen?

Mitt förslag är att du struntar i denna uppgift. För mig är den märklig om det inte finns någon smart metod som jag missat (och det tror jag inte).

Lär dig Herons formel i stället, den kan du ha nytta av när du ska bestämma en triangelarea på en karta eller i verkligheten när bara sidorna a, b, c är kända:

1. Beräkna triangelns omkrets a+b+c.

2, Dela omkretsen med två, vi sätter (a+b+c)/2 = s

3. Bilda produkten s(s–a)(s–b)(s–c)

4. Ta roten ur produkten. Det är triangelns area.

En bekväm formel. I gymnasiet måste man ta cosinussatsen och sedan areasatsen om man vill få arean av en triangel med bara sidor kända. Herons formel är bekvämare.

Mogens skrev:
Mitt förslag är att du struntar i denna uppgift. För mig är den märklig om det inte finns någon smart metod som jag missat (och det tror jag inte).

Lär dig Herons formel i stället, den kan du ha nytta av när du ska bestämma en triangelarea på en karta eller i verkligheten när bara sidorna a, b, c är kända:

1. Beräkna triangelns omkrets a+b+c.

2, Dela omkretsen med två, vi sätter (a+b+c)/2 = s

3. Bilda produkten s(s–a)(s–b)(s–c)

4. Ta roten ur produkten. Det är triangelns area.

En bekväm formel. I gymnasiet måste man ta cosinussatsen och sedan areasatsen om man vill få arean av en triangel med bara sidor kända. Herons formel är bekvämare.

Okej då använder vi den. Vi har att a = 5 ,b =3 och c=4. Så vi kan räkna arean av triangel

Testa på 8, 15 och 17, eller 5, 12, 13 om du vill bri säker. Det ska bli 60 resp 30

Mogens skrev:
Testa på 8, 15 och 17, eller 5, 12, 13 om du vill bri säker. Det ska bli 60 resp 30

Hur menar du? Ska vi ej använda heronsformel o utveckla den för att se vilket alternativ som är rätt??

Jag menar

Lär dig Herons formel

Strunta i denna uppgift

Mogens skrev:
Jag menar

Lär dig Herons formel

Strunta i denna uppgift

Okej. Då lär jag mig en formel som jag ej kan tillämpa på uppgiften?

Ditt val såklart, men Formeln tror jag du kan ha nytta av någon gång. Vad gäller denna uppgift är jag tveksam.

Heron levde typ första århundradet e Kr och har efterlämnat tjocka skrifter. Dock vet man ingenting alls om hans person.

Mogens skrev:
Ditt val såklart, men Formeln tror jag du kan ha nytta av någon gång. Vad gäller denna uppgift är jag tveksam.

Heron levde typ första århundradet e Kr och har efterlämnat tjocka skrifter. Dock vet man ingenting alls om hans person.

Jag vill gärna fortsätta lösa denna uppgift på tråden och få hjälp utan att fundera. Kan vi fortsätta? Vi var nästan på god väg innan vi pratade om herons formeln. Det är märkligt enligt mig att strunta i en uppgift som kostar 1 poäng och kan vara räddning till att man klarar provet :D

Jo du Kan tillämpa den på uppgiften.

1. Multiplicera båda led med c och dela med 2 i alla alternativen (a)–(d)

Det ger att triangelns area står till vänster om likhetstecknet i alla alternativen.

2. Testa högerleden med t ex 3-4-5-triangeln. De alternativ där högerledet inte blir 6 kan du spola.

Nu TROR jag att du bara får alternativ (c) kvar (men har inte kollat).

–Om uppgiftens förutsättning är att precis ett alternativ är rätt så är vi klara, vi har bara en kandidat.

–Om det Kan vara så att inget alternativ är rätt har du två möjligheter:

(i) Hänvisa till Herons formel (uttrycket i högerledet kan göras om till roten ur s(s–a)(s–b)(s–c) ganska enkelt).

(ii) Bevisa att Herons formel gäller alla trianglar. Det är inte omöjligt, men ganska långt och inget jag har möjlighet att göra här och nu.

Det är som jag sade möjligt att det finns ett smart sätt att lösa uppgiften; ett sätt jag inte ser. Men om det gör det, så finns det ju också ett enkelt och smart sätt att visa Herons formel. Det borde jag känna till. Jag har gjort det i undervisningen ibland, och beviset tar uppskattningsvis en timme vid tavlan.

Jag försöker lösa uppgiften med heronsformel nu men det går ej bra.

Mogens skrev:
Det är som jag sade möjligt att det finns ett smart sätt att lösa uppgiften; ett sätt jag inte ser. Men om det gör det, så finns det ju också ett enkelt och smart sätt att visa Herons formel. Det borde jag känna till. Jag har gjort det i undervisningen ibland, och beviset tar uppskattningsvis en timme vid tavlan.

Så här skulle jag lösa uppgifiten:

1. Jag noterar genast att alternativ d) har fel dimension, stryk det alterantivet.

2. Jag noterar att alternativ a) inte ens är symmetrisk i a och b, stryk det alternativet.

3. Alltså måste svaret vara antingen alternativ b) eller c), jag sätter in triangeln $b=c=1$ samt $a=\sqrt2$ . b) klarar inte testet, alltså är svaret c).

Förstår inte. Nu kallar jag h_c för h, det är den enda höjden vi är intresserade av

Det står (c):

h = Stort Rottuttryck delat med (2c)

Multiplicera med c/2 i bägge led:

ch/2 = Stort Rottuttryck delat med 4

Till vänster har du triangelns area. Om det till höger är triangelns area så stämmer formeln. Om det finns någon triangel i universum vars area inte stämmer med högerledet så är (c) falsk.

Nu ser jag att D4NIEL skrivit en lösning. Utmärkt, så är det troligen tänkt.

Men det bygger på förutsättningen att (minst) ett av alternativen (a) – (d) är korrekt. Den måste finnas någonstans i uppgiften.

D4NIEL skrev:
Så här skulle jag lösa uppgifiten:

1. Jag noterar genast att alternativ d) har fel dimension, stryk det alterantivet.

2. Jag noterar att alternativ a) inte ens är symmetrisk i a och b, stryk det alternativet.

3. Alltså måste svaret vara antingen alternativ b) eller c), jag sätter in triangeln $b=c=1$ samt $a=\sqrt2$ . b) klarar inte testet, alltså är svaret c).

Testade också med a=5 b=3 och c=4 men jag får sqrt(720)/8 i b) och sen 24/8 i c)

Du har nog räknat fel någonstans. Det ska bli 6 i (c)

$a=5,\, b=3,\, c=4$ ger för alternativ c:

$\frac{\sqrt{12\cdot 4\cdot 6\cdot 2}}{2\cdot 4}=3$

Vilket är höjden $h_c$ på triangeln. Alltså stämmer alternativ c) för den triangeln.

Personligen skulle jag som sagt välja den ännu lättare triangeln $1,1,\sqrt 2$ :)

ch/2 = roten ur[12*2*4*6] /4 = 24/4

D4NIEL skrev:
$a=5,\, b=3,\, c=4$ ger för alternativ c:

$\frac{\sqrt{12\cdot 4\cdot 6\cdot 2}}{2\cdot 4}=3$

Vilket är höjden $h_c$ på triangeln. Alltså stämmer alternativ c) för den triangeln.

Personligen skulle jag som sagt välja den ännu lättare triangeln $1,1,\sqrt 2$ :)

Svårigheten här är att man måste bestämma vilken av 3, 4 och 5 som är c. Multiplicerar man upp c i vänsterledet och delar med 2 så har man triangelarean utan att behöva grubbla över det.

Nu löste jag. Tack!

Mogens skrev:
ch/2 = roten ur[12*2*4*6] /4 = 24/4

Precis jag fick rätt Area nu.

Mogens skrev:
D4NIEL skrev:
$a=5,\, b=3,\, c=4$ ger för alternativ c:

$\frac{\sqrt{12\cdot 4\cdot 6\cdot 2}}{2\cdot 4}=3$

Vilket är höjden $h_c$ på triangeln. Alltså stämmer alternativ c) för den triangeln.

Personligen skulle jag som sagt välja den ännu lättare triangeln $1,1,\sqrt 2$ :)

Svårigheten här är att man måste bestämma vilken av 3, 4 och 5 som är c. Multiplicerar man upp c i vänsterledet och delar med 2 så har man triangelarean utan att behöva grubbla över det.

Jag ber verkligen om ursäkt. Vänsterledet var verkligen triangelarean medan högerledet ska ge oss den arean vi räknade ut för 3-4-5 triangeln om vi stoppar in de uttrycken alternativen har . Om c är rätt måste det betyda att vår exempel gäller för alla liknande trianglar

Mogens skrev:
Svårigheten här är att man måste bestämma vilken av 3, 4 och 5 som är c. Multiplicerar man upp c i vänsterledet och delar med 2 så har man triangelarean utan att behöva grubbla över det.

Varför blandar ni in en triangelarea?

Höjden i triangeln 3,4,5 med basen 4 är 3, alltså ska $h_c=3$

D4NIEL skrev:
Mogens skrev:
Svårigheten här är att man måste bestämma vilken av 3, 4 och 5 som är c. Multiplicerar man upp c i vänsterledet och delar med 2 så har man triangelarean utan att behöva grubbla över det.

Varför blandar ni in en triangelarea?

Höjden i triangeln 3,4,5 med basen 4 är 3, alltså ska $h_c=3$

Daniel ,ditt sätt fungerar också när jag räknar noggrann nu

D4NIEL skrev:
Mogens skrev:
Svårigheten här är att man måste bestämma vilken av 3, 4 och 5 som är c. Multiplicerar man upp c i vänsterledet och delar med 2 så har man triangelarean utan att behöva grubbla över det.

Varför blandar ni in en triangelarea?

Höjden i triangeln 3,4,5 med basen 4 är 3, alltså ska $h_c=3$

Det var mitt fel (eller förtjänst). Genom att gå över till triangelns area, såg jag att högerledet var uttrycket i Herons formel. Därigenom kunde jag godkänna alternativ (c) utan att befatta mig med (a), (b) och (d).

Pedagogiskt var detta kanske mindre lyckat eftersom H:s formel (tyvärr) har tagits bort ur gymnasiets kurser. Men det hade fördelen att jag slapp befatta mig med frågan vilket som var höjd och vilket som var bas.

Dessutom var det inte angivet – i de förutsättningar jag såg – att precis 1 påstående var korrekt. Din lösning visar 3 falska påståenden, men bekräftar inte det fjärde påståendet.

destiny99 skrev:
Nu löste jag. Tack!

Bra jobbat!

Mogens skrev:
D4NIEL skrev:
Mogens skrev:
Svårigheten här är att man måste bestämma vilken av 3, 4 och 5 som är c. Multiplicerar man upp c i vänsterledet och delar med 2 så har man triangelarean utan att behöva grubbla över det.

Varför blandar ni in en triangelarea?

Höjden i triangeln 3,4,5 med basen 4 är 3, alltså ska $h_c=3$

Det var mitt fel (eller förtjänst). Genom att gå över till triangelns area, såg jag att högerledet var uttrycket i Herons formel. Därigenom kunde jag godkänna alternativ (c) utan att befatta mig med (a), (b) och (d).

Pedagogiskt var detta kanske mindre lyckat eftersom H:s formel (tyvärr) har tagits bort ur gymnasiets kurser. Men det hade fördelen att jag slapp befatta mig med frågan vilket som var höjd och vilket som var bas.

Dessutom var det inte angivet – i de förutsättningar jag såg – att precis 1 påstående var korrekt. Din lösning visar 3 falska påståenden, men bekräftar inte det fjärde påståendet.

Den här forumdelen handlar alltså om MaFyprovet, om du tittar längst upp ser du att avdelningen heter MaFy :)

Det är viktigt att man lär sig lösa flervalsfrågorna så snabbt som möjligt, gärna utan att räkna alltför mycket. Och frågorna har bara ett svar om inte annat anges.

Tycker nog att Smutstvätts lösning var absolut enklast. a =5, b = 3 och c = 4.
Vi visste direkt att täljaren måste ha $\sqrt{24^{2}}$ för att svaret skulle bli $\frac{24}{8} = 3$ .
Eftersom det var så lätta siffror så blev det ren huvudräkning.
Ganska lätt även på a). Ganska fort får vi fram att $h_{c} = \frac{\sqrt{12 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 12}}{8}$ och då ser vi genast att svaret inte kan bli 3.
De övriga var väldigt enkla att räkna ut.
D4niels metod var också ganska lätt, men $\sqrt{2}$ krånglade till det, men inte så mycket.

Lagunas trick att få bort två direkt var snyggt.

Mogens förslag var lärorikt.

Intressant. Tyvärr måste jag medge att den poängen hade jag tappat och dessutom lagt ner onödig tid på. Det lönar sig helt klart att lösa mycket och försöka lära sig knep som i det här fallet.

Tillägg: 18 dec 2022 10:37

Glömde rottecknet på förslag a) så jag lade till det, men ändå fortfarande ganska lätt att se att svaret inte kan bli 3.
Tyvärr så står det fortfarande fel i destiny99:s svar, där hon har citatet mig, nedan. Mitt rottecken syns inte där.

ConnyN skrev:
Tycker nog att Smutstvätts lösning var absolut enklast. a =5, b = 3 och c = 4.
Vi visste direkt att täljaren måste ha $\sqrt{24^{2}}$ för att svaret skulle bli $\frac{24}{8} = 3$ .
Eftersom det var så lätta siffror så blev det ren huvudräkning.
Ganska lätt även på a). Ganska fort får vi fram att $h_{c} = \frac{12 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 12}{8}$ och då ser vi genast att svaret inte kan bli 3.
De övriga var väldigt enkla att räkna ut.
D4niels metod var också ganska lätt, men $\sqrt{2}$ krånglade till det, men inte så mycket.

Lagunas trick att få bort två direkt var snyggt.

Mogens förslag var lärorikt.

Intressant. Tyvärr måste jag medge att den poängen hade jag tappat och dessutom lagt ner onödig tid på. Det lönar sig helt klart att lösa mycket och försöka lära sig knep som i det här fallet.

Ja jag håller med. Jag tyckte smutstvätt metod var enkelt. Såg bara ej det. Att kunna herons formel hade hjälpt också

I min tråd hittar jag inte något inlägg av smutstvätt.

Jag kan inte heller se Smutstvätts inlägg om det är till någon tröst. Kanske en bugg? Hur många inlägg ser du totalt i tråden?

Förlåt det var mitt fel. Jag såg den här länken där Smutstvätt tipsade om 3, 4, 5 triangel.
Hoppas att ni inte tar illa upp av mitt inlägg. Jag tyckte verkligen att det blev en mycket bra tråd tack vare era inlägg.
Jag lärde mig jättemycket och detsamma verkar att ha gällt för destiny99.

Nu är den tråden förlängd med mer info dessutom.

Jahaaaaaaa :) Nu förstår jag

Jag som trodde vi hade hittat ännu en bugg!

ConnyN skrev:
Förlåt det var mitt fel. Jag såg den här länken där Smutstvätt tipsade om 3, 4, 5 triangel.
Hoppas att ni inte tar illa upp av mitt inlägg. Jag tyckte verkligen att det blev en mycket bra tråd tack vare era inlägg.
Jag lärde mig jättemycket och detsamma verkar att ha gällt för destiny99.

Nu är den tråden förlängd med mer info dessutom.

Du behöver inte be om ursäkt, inte mig i alla fall.

När jag summerar är jag litet brydd över att spelreglerna ansågs så solklara. Det jag såg var

– en förutsättning

– fyra påståenden

Efter några inlägg framgick att man skulle bedöma sanningshalten i de olika påståendena. Men fortfarande är det helt fundamentalt för lösningen att man vet att precis ett av alternativen är korrekt. OK, för några är det uppenbart. Men för mig som inte sett gymnasieprov på decennier är det långt ifrån självklart.

Vet man detta, räcker det att visa att abd är falska, alternativt att c är korrekt. Att visa att c korrekt ligger i praktiken utanför gymnasiekursen. Man kan visa det för enskilda trianglar, men inte generellt.