Uppgift 14 matematikprov 2011

Rita en rätvinklig triangel

Vinkeln x/2

Då har du två kateter,  eller hur? Tangens i en rätv. triangel.

Bestäm hypotenusan, och avläs cos (x/2) resp. sin (x/2).

Nu till trixet: $\cos x= \cos (2\cdot\dfrac{x}{2})$.

Använd cosinus för dubbla vinkeln. OK?

Sånt här är nog ganska lurigt att komma på om man inte sett det förut (därför kan det vara smart att börja med att pröva sätta in värden, som du gjort), men så här är ett sätt som är elegant, men svårt att komma på:

Ur dubbelvinkelformeln för $\cos(2v)$ får vi:

$\cos\left(x\right)=\cos^2(\dfrac{x}{2})-\sin^2(\dfrac{x}{2})$

Nu kan vi utnyttja trigonometriska ettan:

$=\dfrac{\cos^2(\dfrac{x}{2})-\sin^2(\dfrac{x}{2})}{1}=\dfrac{\cos^2(\dfrac{x}{2})-\sin^2(\dfrac{x}{2})}{\cos^2(\dfrac{x}{2})+\sin^2(\dfrac{x}{2})}$

och om vi sedan dividerar både täljare och nämnare med $\cos^2(x/2)$ får vi till sist:

$=\dfrac{1-\dfrac{\sin^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}}{1+\dfrac{\sin^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}}=\dfrac{1-\tan^2(\dfrac{x}{2})}{1+\tan^2(\dfrac{x}{2})}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

Tack så mycket AlvinB, du är ett geni!