Uppgift 1.24 c) avgöra gränsvärde (Matematik/Universitet/Flervariabelanalys)

Sätt

x = 1 + r*cos(v)

y = 1 + r*sin(v)

Då går r mot 0 för att x och y ska gå mot 1. Alla värden på v ska ge samma svar om gränsvärdet existerar.

Dr. G skrev:
Sätt

x = 1 + r*cos(v)

y = 1 + r*sin(v)

Då går r mot 0 för att x och y ska gå mot 1. Alla värden på v ska ge samma svar om gränsvärdet existerar.

Men vi vet att cos(v) , tan(v) samt sin(v) är begränsade trig funktioner där de pendlar mellan -1 och 1 så jag tänker mig 1/r+1+1-r. Så r måste gå mot 1 och inte 0 ? Om r går 1 mot får jag 1/1+1+1-1=2

destiny99 skrev:
Dr. G skrev:
Sätt

x = 1 + r*cos(v)

y = 1 + r*sin(v)

Då går r mot 0 för att x och y ska gå mot 1. Alla värden på v ska ge samma svar om gränsvärdet existerar.

Men vi vet att cos(v) , tan(v) samt sin(v) är begränsade trig funktioner där de pendlar mellan -1 och 1 så jag tänker mig 1/r+1+1-r. Så r måste gå mot 1 och inte 0 ? Om r går 1 mot får jag 1/1+1+1-1=2

Täljaren är x-y, ej xy. Kontrollera

Trinity2 skrev:
destiny99 skrev:
Dr. G skrev:
Sätt

x = 1 + r*cos(v)

y = 1 + r*sin(v)

Då går r mot 0 för att x och y ska gå mot 1. Alla värden på v ska ge samma svar om gränsvärdet existerar.

Men vi vet att cos(v) , tan(v) samt sin(v) är begränsade trig funktioner där de pendlar mellan -1 och 1 så jag tänker mig 1/r+1+1-r. Så r måste gå mot 1 och inte 0 ? Om r går 1 mot får jag 1/1+1+1-1=2

Täljaren är x-y, ej xy. Kontrollera

Aa juste då får vi bara lim (x,y)=>(1,1) (rcos(v)-rsin(v))/(rcos(v)-1)

destiny99 skrev:
Trinity2 skrev:
destiny99 skrev:
Dr. G skrev:
Sätt

x = 1 + r*cos(v)

y = 1 + r*sin(v)

Då går r mot 0 för att x och y ska gå mot 1. Alla värden på v ska ge samma svar om gränsvärdet existerar.

Men vi vet att cos(v) , tan(v) samt sin(v) är begränsade trig funktioner där de pendlar mellan -1 och 1 så jag tänker mig 1/r+1+1-r. Så r måste gå mot 1 och inte 0 ? Om r går 1 mot får jag 1/1+1+1-1=2

Täljaren är x-y, ej xy. Kontrollera

Aa juste då får vi bara lim (x,y)=>(1,1) (rcos(v)-rsin(v))/(rcos(v)-1)

x-1 = r cos(v)

Var blir då din kvot, efter förenkling?

Trinity2 skrev:
destiny99 skrev:
Trinity2 skrev:
destiny99 skrev:
Dr. G skrev:
Sätt

x = 1 + r*cos(v)

y = 1 + r*sin(v)

Då går r mot 0 för att x och y ska gå mot 1. Alla värden på v ska ge samma svar om gränsvärdet existerar.

Men vi vet att cos(v) , tan(v) samt sin(v) är begränsade trig funktioner där de pendlar mellan -1 och 1 så jag tänker mig 1/r+1+1-r. Så r måste gå mot 1 och inte 0 ? Om r går 1 mot får jag 1/1+1+1-1=2

Täljaren är x-y, ej xy. Kontrollera

Aa juste då får vi bara lim (x,y)=>(1,1) (rcos(v)-rsin(v))/(rcos(v)-1)

x-1 = r cos(v)

Var blir då din kvot, efter förenkling?

Jag tror allt kommer gå mot 0 eftersom sin(v) och cos(v) är mellan -1 och 1

Nämnaren är ej rätt

Trinity2 skrev:
Nämnaren är ej rätt

Nämnaren är ju x-1 och vi sa ju att x=1+rcos(v). Vi kommer till slut ha 1-tan(v) och tan(v) är mellan 1 och -1 så 1-1=0.

destiny99 skrev:
Trinity2 skrev:
Nämnaren är ej rätt

Nämnaren är ju x-1 och vi sa ju att x=1+rcos(v). Vi kommer till slut ha 1-tan(v) och tan(v) är mellan 1 och -1 så 1-1=0.

tan(v) -> oo då, t.ex. v->π/2. Plotta 1-tan(v) på [0,2π]. Vad kan du säga om gränsvärdet?

Trinity2 skrev:
destiny99 skrev:
Trinity2 skrev:
Nämnaren är ej rätt

Nämnaren är ju x-1 och vi sa ju att x=1+rcos(v). Vi kommer till slut ha 1-tan(v) och tan(v) är mellan 1 och -1 så 1-1=0.

tan(v) -> oo då, t.ex. v->π/2. Plotta 1-tan(v) på [0,2π]. Vad kan du säga om gränsvärdet?

jag förstår inte hur tan(v) går mot inf eller varför vi blandar in detta? Det står ju (x,y)=> (1,1)? Är ej tangens mellan -1 och 1 likt övriga?

Gränsvärdet går mot

1 - tan(v)

Det räcker att konstatera att alla v inte ger samma värde. v = 0 ger 1, v = π/4 ger 0. Uttrycket växer obegränsat när v går mot π/2.

Dr. G skrev:
Gränsvärdet går mot

1 - tan(v)

Det räcker att konstatera att alla v inte ger samma värde. v = 0 ger 1, v = π/4 ger 0. Uttrycket växer obegränsat när v går mot π/2.

Jaha okej. Jag var på väg att säga att gränsvärdet inte existerar då tanv inte är kontinuerlig i x=pi/2 i [0,2pi] då den går mot inf när den närmar sig x=pi/2 från alla håll. Jag trodde dessutom gränsvärdet skulle vara ett tal och inte ett uttryck. Så för att gränsvärdet ska vara ett tal så måste v ge samma värde för alla vinklar v i [0,2pi]?