Uppdelning i olika fall vid absolutbelopp & odefinierad derivata

1. Intervallen delas upp utefter absolutbeloppets tecken. Om x < 3 blir $|x+3|=-(x+3)$. Om x är större än eller lika med tre blir $|x+3|=x+3$. Detta påverkar hur funktionen ser ut, och därför delas intervallet upp som det gör. 

2. Derivatan är inte definierad om värdena på derivatan är olika när man närmar sig ett x-värde från höger respektive vänster. Om funktionen är kontinuerlig kommer höger- och vänstervärdet (kanske fel terminologi) att närma sig samma värde. Om funktionen däremot gör ett "hopp", kommer höger- och vänstervärdet närma sig olika värden, och det går inte att beräkna någon derivata i punkten. 

Det man vill åt är när uttrycket inuti absolutbeloppet byter tecken, för det är då absolutbeloppet får någon verkan. För $|x|$ sker detta vid $x=0$, men för $|x+3|$ sker detta när $x=-3$.

Det som gör att derivatan inte är definierad i punkten $x=-3$ är absolutbeloppet. Absolutbeloppet gör en teckenväxling så snabbt att derivatan inte "hinner med". Detta gör att funktionen är definierad i $x=-3$, men inte derivatan.

Man brukar se att grafen får en "knyck" där absolutbeloppet tar verkan, men den här funktionen är sådan att knycken är så liten att den knappt syns (det kanske är medvetet av uppgiftsmakaren, vad vet jag). Här är ett exempel av en annan funktion där knycken syns väldigt tydligt:

Man kan också visa att derivatan inte existerar algebraiskt. Man kan skriva derivatan för hela funktionen så här:

$f'(x)$ $=\dfrac{|x+3|}{x+3}+1+4x$

Detta uttryck är odefinierat när $x=-3$. Alltså existerar inte derivatan i denna punkt.

Ett stort tack till er för de pedagogiska svaren! Nu förstår jag det här.