Uppåt eller nedåt begränsad
Hej,
jag undrar om någon kan hjälpa mig att förstå en arctan funktion.
Här är uppgiften.
Avgör om följande funktioner antar ett största och ett minsta värde. Du måste inte
ta fram största och minsta värde, utan endast avgöra och motivera att de existerar
eller inte existerar.
f (x) = arctan(2x) + 5
Jag tänker så här, att en vanliga tan funktion har inget största eller minsta värde. Men eftersom en arctan funktion är vriden 90 grader och spegelvänd om man jämför med tan. Så tänker jag att den får ett största och ett minsta värde. Alltså att den istället ser ut som en sin/cos funktion, men jag verkar ha fel och tänka fel. Någon som kan hjälpa mig förstå ?
eller är det jag som inte förstå frågan med största och minsta värde ? Jag tänker ju att det värdet är värdemängd alltså upp och ner på y-axeln. Hoppas någon förstår vad jag menar, även fast jag inte skriver så bra mattespråk.
Tack på förhand!
Betrakta y = tan x för – pi/2 < x < pi/2. För x = ±pi/2 är y inte definierat, värdena rusar mot
± oändl.
Vi löser ut x och får x = arctan y. Om vi byter ut x mot y och tvärtom får vi inversen
y = arctan x. Definitionsmängden för denna funktion är värdemängden för tangensfunktionen vi utgick från, dvs alla reella x. Värdemängden är tangensfunktionens definitionsmängd; från
–pi/2 < y < pi/2. Arcustan kommer hur nära ±pi/2 som helst men vilket värde vi än väljer kan vi alltid hitta ett som är närmre.
Så största och minsta värde saknas.
tack för svar. Så jag kan typ tänka att funktionen fortsätter i all oändlighet mot +- pi/2 men träffar det aldrig. Därför finns det aldrig någon största eller minsta värde. Jag trodde funktionen tillslut började svänga ner och sen upp igen. Alltså runt x axeln men den gör alltså inte de. utan den kommer från -pi/2 och går igenom noll och sen upp emot +pi/2 ?
Precis.
Om den började svänga ned mot x-axeln – det skulle ju betyda att y = tan x skulle svänga in mot y-axeln, nej, så kan vi ju inte ha det.
Super tack. :D jag får inte passa på att ställa en annan fråga, om du vet hur jag kan lära mig arcsin och arccos lite mer. Har kollat på grunderna, men hittar ändå ingenting som hjälper mig att förstå.
Nej, jag har nog inte så mycket att komma med. Det bästa är om du undervisar om det, det var så jag fick en känsla för begreppen. Visserligen fattade inte eleverna något, men jag lärde mig till sist.
Grunden är att om vi har sag
cos 0 = 1
så har vi
arc cos 1 = 0
Man bara byter plats alltså.
Men redan där har jag förenklat. Vi har ju
cos (2 pi) = 1
men arccos 1 är som sagt 0, inte 2 pi. Det finns oändligt mänga vinklar som har cosinusvärdet 1 men arccos 1 är alltid noll. Det har man bestämt.
Sedan, när det gäller trigonometri bör man gå till enhetscirkeln.
Börja i punkten (1, 0) och förflytta dig moturs. När du gått vinkeln pi/3 (60°) så är du i punkten (1/2, (roten ur 3)/2 ). Cosinus för vinkeln är x-koordinaten, dvs 1/2. Alltså
cos(pi/3) = 1/2
eller
arccos (1/2) = pi/3
arcus betyder vinkel, så arccos, arcsin, arctan är de vinklar som har motsvarande cos-, sin- respektive tanvärden.
Fortsätter du moturs till vinkeln pi/2 (90°) så ser du att x-koordinaten är 0:
arccos 0 = pi/2
och när du gått ett halvt varv är du i punkten (–1, 0):
arccos(–1) = pi
Men nu kan vi inte fortsätta, för nu återkommer samma x-koordinater igen. Vi är klara.
arccos x = y betyder
1. cos y = x
2. 0 ≤ x ≤ pi.
Färdigt.
Med arcsin är det samma sak, fast vi tittar på y-koordinaten. Börja i (0, –1) och gå moturs till (0, 1). Då går vinkeln (eller argumentet kallas den) från –pi/2 till pi/2.
arcsin x = y betyder
1. sin y = x
2. –pi/2 ≤ y ≤ pi/2
Du måste rita upp detta själv, så du får en inre bild av hur det hänger ihop. Lycka till!
Återigen tack så mycket. Förstår nog lite bättre, måste nog bara öva. Men med din beskrivning låter det inte som att jag är helt ute och cyklar i alla fall.
Du ska cykla!
arcusfunktionerna kallas cyklometriska funktioner :)
