Universitet Sannolikhet stokastiska funktioner

Du kan återföra dig till stora delar av 5.18 om du först beräkna tätheten för R^2.

F_R(r) = P(R^2≤r) = P(0<R≤ROT(r)) =INT_0^ROT(r) 2r dr = [r^2]_0^ROT(r) = r, 0<r<1

Alltså är f_R(r)=1, 0<r<1.

Om du nu genomför 5.18 med f_R(r)=1 och 0<r<1 istället så tror jag du klarar dig i mål.

Varför ska jag hitta tätheten för R^2 när den inte står med i uppgiften? Det är ju I^2. 

Såhär förslagger facit, men blir inte klokare på det: 

Beräkna först täthetsfunktionen för $I^2$. Det kan vara lättare att kalla $I^2$ för något annat, t.ex. $M$, för att inte bli förvirrad. Täthetsfunktionen blir (kontrollräkna!)

$f_{I^2}=f_M=3(1-\sqrt{m})$

Utnyttja sedan att $w=ri^2=rm$, $f_W=f_Rf_M$ och följ 5.18. I det blå området är effekten lika med eller mindre än $W$. Du ska alltså beräkna integralen av funktionen $f_W=f_Mf_R$ över det blå området.

Man kan också beräkna integralen i det rosa området och använda komplementet som de gör i lösningen till 5.18. Då slipper man dela upp det i två integraler. Slutligen kan du derivera den kumulativa fördelningsfunktionen med avseende på $w$ för att få täthetsfunktionen $f_W(w)$

Haha, jag var helt ute och reste. Hur fick jag för mig att det skulle vara R^2… korkat!

Det börjar klarna nu! Däremot undrar jag hur man räknar ut täthetsfunktionen för I^2 = M? Det finns en transformationsformel för täthetsfunktioner men det är något vi inte har gått igenom så undrar om det finns något annat sätt att räkna ut täthetsfunktionen för M? Eller kan man lösa uppgiften utan att räkna ut täthetsfunktionen?

För att beräkna täthetsfunktionen för $i^2$ kan vi använda täthetsfunktionen för $I$, det gäller bara att sätta in rätt gräns i integralen (som svarar på ett värde på I^2). Sedan deriverar vi den på samma sätt som huvudlösningen i uppgift 5.18.

Exempel: vi vill veta vad sannolikheten är att $i^2=0.04$ eller mindre. Det är samma sak som att ställa frågan, vad är sannolikheten att $i=0.2$ eller mindre? (Testa att beräkna det!)

Ställ sedan frågan "Vad är sannolikheten att $i^2=m$ eller mindre?. Gör exakt samma beräkning som ovan fast med $m$. Derivera svaret du får med avseende på m och så har du $f_{M}(m)$.

Lyckas få fram 3(1-sqrt(m)) nu som du fick men ska inte denna deriveras då den motsvarar väl F_M(m) och inte f_M(m)? 

Hur ser integralen för 1-P((I, R) tillhör A) ut egentligen? 

Såhär ser min integral ut:

$1-{\int }_{\sqrt{\frac{w}{1}}}^1{\int }_{\frac{w}{i^2}}^{1}3(1-i)\times 2r drdi$

där jag då gjorde om sqrt(m) till sqrt(m)=sqrt(i^2)=i

Jag tänkte mig att du skulle integrera fram $F_M(m)$ genom

$F_M\left(m\right)=\displaystyle \int_0^{\sqrt{m}}6i\left(1-i\right)\,\mathrm{d}i=3m-2m^{3/2}$

Det svarar på frågan "vad är sannolikheten att $i^2=m$ eller mindre?"

Sedan deriverar vi fördelningsfunktionen med avseende på m för att få frekvensfunktionen

$f_M\left(m\right)=\frac{dF_M(m)}{d m}=3\left(1-\sqrt{m}\right)$

Nu har vi $f_M\left(m\right)$ och kan ställa upp huvudintegralen. Vi utnyttjar knepet med komplementet för att slippa dela upp integralen i två delar.

$\displaystyle F_W\left(w\right)=1-\int_{m=w}^1 \int_{r=w/m}^1 3\left(1-\sqrt{m}\right)\cdot 2r\, \mathrm{d}r\mathrm{d}m=6w-8w^{3/2}+ 3w^2$

Slutligen deriverar vi fördelningsfunktionen $F_W$ och erhåller

$f_W(w)=6+6w-12\sqrt{w}$

Äntligen nu är jag med!! Ni har sparat timmar av huvudvärk av denna uppgift!