union och snitt

Hej

jag studerade ett exempel om hur man kan komma fram till om snittet och unionen av två icke-uppräkneliga mängder måste vara uppräkneliga eller inte, men förstår inte helt hur man kommer fram till det.

Visa om snittet och unionen av två icke-uppräkneliga mängder måste vara uppräkneliga.

Jag började med att försöka visa att snittet kan vara icke-uppräknelig, uppräknelig 

Om $A:\left[0;2\right]$ och B=$\left[0;1\right]$ så får vi att C=$A\cap B=\left[0;1\right]$ och snittet C är då icke-uppräknelig.

Om A=$\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},....\right\}\cup \left[1;2\right]$ och B=$\left[0;1\right]$ så är C uppräknelig

Om A=$\left[1;2\right]$ och B=$\left[0;1\right]$ så blir C=$A\cap B=\left\{1\right\}$ och C är ändlig.

Räcker detta för att visa att snittet inte måste vara uppräknelig?

Sedan förstår jag inte riktigt varför snittet inte är uppräknelig om $A=\left[0;2\right]$ och B=$\left[0;1\right]$ borde inte snittet bara bli $\left[0;1\right]$ ?