Undrande

Försök komma på ett nollställe (x=a), till exempel genom att rita upp grafen. Genom att dividera med x - a får du sedan en andragradsekvation, som går att lösa med pq-metoden. Derivering och extremvärden är en annan fråga.

Att lösa alla tredjegradsekvationer är komplicerat och ingår inte i gymnasiet. I stället brukar det handla om enklare specialfall.  

Två exempel:

1. Ingen konstantterm

x^3-3x^2+2x = 0

Här löser man ut x och får

x(x^2-3x+2) = 0

2. Gissa en lösning

Om du kan gissa en lösning kan du göra en polynomdivision och få en andragradsekvation. Men ingår det i matte 3? Jag vet inte riktigt. 

Kanske därför jag inte stött på det! 

 Då har jag en till fråga (eller bekräftande) en andragradsekvation har en extrempunkt medans tredjegrads har två? Eller funkar det inte så?

Tackar! 

En andragradsfunktion har en extrempunkt, men det är inte säkert att en tredjegrads har någon. Den har 0 eller 2, men kan se ut så här:

Det finns ett litet trick man kan göra för att göra så kallade "kvalificerade gissningar" på vad rötterna är. Det kommer naturligt om man inser att man kan skriva om ett tredjegradspolynom som produkten av $\left(x-{\alpha }_i\right)där{\alpha }_iärenrot.$

Exempel:
En andragradsfunktion har rötterna x=1 och x=2. Det betyder att funktionen kan skrivas på formen $\left(x-1\right)*\left(x-2\right)=0$

Om vi utvecklar får vi då $x^2-2x-1x+2=x^2-3x+2$

Observera att om $\left(x-1\right)*\left(x-2\right)=0$ så är även $A*\left(x-1\right)*\left(x-2\right)=0$.

Dvs om vi använder A=10 som exempel så har både funktionen $y_1=x^2-3x+2$ och funktionen $y_2=10x^2-30x+20$ båda samma nollställen.

Tricket med att göra kvalificerade gissningar på nollställen är alltså att kolla på konstanttermen. Den är nämligen alla rötter multiplicerade med varandra, samt multiplicerat med A.

Vissa saker faller ut automatiskt vilket är trevligt:

- Om du inte har någon konstantterm så har du minst en rot som är 0. Dvs du kan skriva om det på formen $A*\left(x-0\right)*\left(x-{\alpha }_1\right)*\left(x-{\alpha }_2\right)$ eller enklare $A*x*\left(x-{\alpha }_1\right)\left(x-{\alpha }_2\right)$

Svantes första exempel ovan är av den här formen. Och precis som han säger så är det bara att bryta ut ett x så har du en andragradsekvation kvar.

Obs! Grundidén för att man kan skriva om är att för att något ska kunna bli noll när man multiplicerar så måste en av faktorerna vara 0 för det värdet på X där det finns ett nollställe.

Klarafardiga skrev :

Kanske därför jag inte stött på det! 

 Då har jag en till fråga (eller bekräftande) en andragradsekvation har en extrempunkt medans tredjegrads har två? Eller funkar det inte så?

Tackar! 

I princip är det som du säger. Dock så kan du ha dubbel och trippelrötter, och en tredjegradskurva har inte nödvändigtvis en max eller min-punkt utan kan ha en så kallad terrasspunkt. Dvs derivatan i den punkten är noll men funktionen vänder inte i den punkten. HT-borås visade en sådan graf.

Men som du misstänker så får du alltid en andragradsfunktion om du deriverar en tredjegradsfunktion. Vilket faller ut naturligt om man kollar på deriveringsregeln.

Men kan man tolka

x^2=2 nollställe (grafen skär x-axeln 2ggr)

x^3=3 nollställe?

Andragradsfunktioner kan ha 0, 1 eller 2 nollställen. Tredjegradsekvationer har inte alltid tre nollställen, som du ser i grafen ovan. Den visar för övrigt inte någon terrasspunkt heller, bara en så kallad inflektionspunkt.

Men finns det något mönster för alla x^2 t.ex. Som gör att man kan få upp en bild i huvudet av grafen?

Klarafardiga skrev :

Men finns det något mönster för alla x^2 t.ex. Som gör att man kan få upp en bild i huvudet av grafen?

Ja.

En generell andragradsfunktion kan beskrivas f(x) = ax^2 + bx + c, där konstanten a är skild från 0

Grafen till en andragradsfunktion kan beskrivas utifrån 2 kännetecknande egenskaper.

Egenskap 1. "Positiv/negativ"

Här finns det två varianter:

• Om konstanten a > 0, dvs om a är positiv, så ser grafen ut som en "glad mun" (minnesregel positiv = "glad"). Exempel: f(x) = 4x^2 + 5
• Om konstanten a < 0, dvs om a är negativ, så ser grafen ut som en "ledsen mun" (minnesregel negativ = "ledsen"). Exempel: f(x) = -5x^2 + 8x

Egenskap 2. "Höjd, antal reella nollställen":

Här finns det tre varianter:

• Om grafen skär x-axeln i två punkter så har andragradsfunkrionen två reella nollställen, andragradsekvationen f(x) = 0 har två reella rötter. Exempel: f(x) = x^2 - 4. (diskriminanten är positiv)
• Om grafen tangerar x-axeln i en punkt så har andragradsfunkrionen ett reellt nollställe, andragradsekvationen f(x) = 0 har en dubbelrot. Exempel: f(x) = x^2. (diskriminanten är lika med 0)
• Det här fallet ingår inte i Matte 3, så det behöver du nog inte kunna, men ändå: Om grafen inte skär x-axeln i någon punkt så har andragradsfunkrionen inget reellt nollställe, andragradsekvationen f(x) = 0 har två komplexa rötter. Exempel: f(x) = x^2 + 8. (diskriminanten är negativ)

Det finns alltså sammanlagt 6 olika varianter på sådana kurvor (3 st "positiva" och 3 st "negativa").

Jo, komplexa rötter ingår i Ma2 (åtminstone b- och c-varianterna).

smaragdalena skrev :

Jo, komplexa rötter ingår i Ma2 (åtminstone b- och c-varianterna).

Hoppsan, det visste inte jag.

@Klarafardiga - har ni läst om komplexa rötter till andragradsekvationer?

Exempelvis, lösningarna till en ekvation som x^2 + 4 = 0?

Isåfall ska du även känna till variant 3 avseende egenskap 2 ovan.

Det ska jag absolut tänka på! :)