Undersöka lim för sandwich funktion

Jag har uppgiften:

$\underset{x \mapsto 1}{l i m} \frac{\sin 3 πx}{e^{x} - e}$

en sandwich funktion med sin hyfsat dos av $e$ och trigonometri.

Enligt vad jag förstått från min kurs, det gäller att ersätta $x$ mot en annan variabel som snäll och smidigt går mot noll, och skriva om uttrycket.

$[x - 1 = t t + 1 = x]$ , så när $x \to 1 \Leftrightarrow t \to 0$ .

Vi gör en variabel byte:

$\underset{t \mapsto 0}{l i m} \frac{\sin 3 π (t + 1)}{e^{t + 1} - e} = \frac{1}{e} \underset{t \mapsto 0}{l i m} \frac{\sin 3 π (t + 1)}{e^{t} - 1}$

Målet är nog att isolera: $\frac{t}{e^{t} - 1}$ som är inversen till en standardgransvärde, så jag försökte att göra en Albikis-algebra-jonglering såhär:

$\frac{1}{t} \frac{1}{e} \underset{t \mapsto 0}{l i m} \frac{t \sin 3 π (t + 1)}{e^{t} - 1} \Leftrightarrow \underset{t \mapsto 0}{\frac{1}{t} \frac{1}{e} l i m} \frac{t^{2} \sin 3 π + \sin 3 π}{e^{t} - 1} = \underset{t \mapsto 0}{\frac{1}{t} \frac{1}{e} l i m} (\frac{t^{2} \sin 3 π}{e^{t} - 1} + \frac{\sin 3 π}{e^{t} - 1}) = \underset{t \mapsto 0}{\frac{1}{t} \frac{1}{e} l i m} (t \sin 3 π + \frac{\sin 3 π}{e^{t} - 1})$

Men det börjar också likna fruktansvärt mycket en promenad i matteskogen, med massor divisioner med noll på köpet...

Eftersom du har ett uttryck på formen: 0/0 (noll över noll) föreslår jag att du använder L'Hôpitals regel:

$\lim_{x \to 1} \frac{\cos 3 π x \cdot 3 π}{e^{x}} = . . .$

\pi bytt till ett pi-tecken. /Smutstvätt, moderator

Problem med formeln: 3\pix = $3 π x$

Jepp.. ser ut som LaTex strular...

Tack för svaret, jag återkommer till den här sjukhus regel :) (jag kan inte den!)

dajamanté skrev:
Jepp.. ser ut som LaTex strular...
Tack för svaret, jag återkommer till den här sjukhus regel :) (jag kan inte den!)

Den är mycket användbar! Läs gärna mer om den här:

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/LHOSPITAL.pdf

Pust. Tack. Och sorry för sent retur, det blev väldigt mycket i helgen!

Vi har inte gått igenom l'hôpital regel, så det är en hel del konstigt algebra i min lösning.

Efter $\underset{t \to 1}{l i m} \frac{\sin 3 π (t + 1)}{e^{t + 1} - e}$ kommer en hel del viftande algebra jag är inte 100% bekväm med.

I $\frac{1}{e} \underset{t \to 1}{l i m} \frac{- \sin 3 π}{e^{t} - 1}$ , exporteras $3 π$ utanför uttrycket, i form $\frac{- 3 π}{e} \underset{t \to 1}{l i m} \frac{\frac{\sin 3 π}{3 πt}}{\frac{e^{t} - 1}{t}}$ . Jag förstår vad görs här, man försöker exponera standardgransvärden, men som sagt jag tror inte jag skulle komma fram till det.

Men med l'hôpital regel blev det torkad i två sekunder.

Definitionen av derivata används för att uttrycka

$\displaystyle\frac{\sin 3\pi x}{e^x-e}=\frac{\sin 3\pi x -\sin 3\pi}{x-1}/\frac{e^x-e}{x-1}$ .

Täljaren konvergerar mot $3\pi\cos 3\pi$ när $x\to 1$ och nämnaren konvergerar mot $e^1$ när $x\to 1.$

Gränsvärdet är lika med $- \frac{3 π}{e} .$

Svara

Visa senaste svar