Undersöka hur ändring av exponenten r påverkar en planets bana runt solen

Hej, och välkommen till Pluggakuten!

Jag skulle nog tycka att den uppgiften är en både fysikalisk och matematisk uppgift (och programmeringsuppgift) på ganska avancerad universitetsnivå, beroende på hur mycket vägledning och hjälp man får med formler och sånt. Iallafall låter det som ett ganska omfattande projekt. Omfattningen beror ju såklart på vilken detaljnivå undersökningen ska ske.

Men jag kan ju ha fel förstås.

Differentialekvation för planetbanan får man fram genom att anta att planetens mekaniska energi och dess rörelsemängdsmoment är konstant, och man borde som du säger kunna lösa den med eulers stegmetod.

Ett bra mycket enklare sätt att på ett mer kvalitativt sätt undersöka om det finns slutna planetbanor vid olika utseenden på gravitationsfältet är att undersöka planetens energiomsättning i sin bana (igen under antagandet att dess totala energi och dess rörelsemängdsmoment är konstanta) utan att behöva lösa komplicerade differentialekvationer. Men fortfarande behöver man kunna en hel del fysik. Den här videon går igenom koncept och ekvationer:

https://www.youtube.com/watch?v=NvOvmgHSFx0

En fråga av ren nyfikenhet. I vilket sammanhang har du fått den här uppgiften? Den känns väldigt tung om man ska härleda alla ekvationer själv, med enbart fysik2 som bakgrund.

Tack för svar;

Det kan låta lite konstigt men det är lite som ett "gymnasiearbete" i matte. Det är alltså jag som har kommit på uppgiften. Min ide var att undersöka hur de elliptiska banorna runt solen skulle förändras om man förändrade exponenten av r i newtons allmänna gravitationslag. Jag tänkte då lösa det med Eulers stegmetod och sedan göra en simulering, (om det ens är möjligt). Fysikdelen är obetydlig i uppgiften då det är matten som räknas. Om du har förslag på vad jag kan börja läsa i fysik för att klara uppgiften så är jag väldigt tacksam. 

Jag tänkte skriva i mitt första inlägg att det där skulle nog passa som ett gymnasiearbete i omfattning, eftersom du då kan lägga en del tid på att forska fram lämpliga ekvationer och läsa in teori på nätet så tror jag absolut att du kommer att klara av det (ärligt talat, jag hade önskat att jag hade kommit på ett sådant tema för ett gymnasiearbete själv).

Jag tror alltså att temat är klockrent för ett "typ" gymnasiearbete, men att du skulle behöva boxa in frågeställningen lite mer. Just nu är den lite ospecifik. Det som avgör om planetbanor blir slutna (typ cirkulära eller elliptiska) eller om objektet bara rusar förbi och tar fart från gravitationen från en stor himlakropp, är i de flesta fall inte utseendet på gravitationsfältet. Det är mer "startvillkoren" hos lösningen på differentialekvationen tillsammans med gravitationsfältets egenskaper som är avgörande, dvs hastigheten och rörelsemängdsmomentet som planeten har i en viss position i sin bana. Dvs du kommer att få väldigt många frihetsgrader att undersöka med din frågeställning, och du kommer att få svårt att komma fram till något bra svar, eller slutkläm, på ditt arbete.

För mig skulle en jättespännande frågeställning vara vad som skulle hända med jordens bana kring solen om man plötsligt vid någon tidpunkt ändrade på gravitationsfältets egenskaper på det sätt du vill undersöka. Då har man boxat in startvillkoren så att säga, och kan fokusera på gravitationsfältets ändrade egenskaper. Du kommer förmodligen att komma fram till olika spännande dystopiska scenarion som är fullt möjligt att redovisa inom arbetstiden.

Angående den teoretiska bakgrunden, jag hittade denna youtube-video ifrån samma kille som jag länkade till igår, där han visar vilken matematik som krävs för att härleda differentialekvationerna, och hur man dessutom kan lösa diffekvationen algebraiskt i vissa fall. Detta är all den teori du behöver:

https://www.youtube.com/watch?v=wLYZsO6lk0E

Så det är mycket möjligt att du kan komma fram till algebraiska lösningar på diffekvationerna också, och på samma sätt som i videon kunna ställa upp villkoren som gäller för slutna banor med olika gravitationsfält. Eller om du vill lösa dem numeriskt med dator.

Jättekul! 

Tycker det är ett bra projekt om än omfattande. Men det är roligt att förstå varför planetbanorna är ellipser.

Den här artikeln från Wikipedia förklarar hur differential-ekvationen ser ut: https://en.wikipedia.org/wiki/Binet_equation

Det visar sig att det är bra att skriva ekvationen med hjälp av polära koordinater.

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=\stackrel{\rightharpoonup }{r}\left(\theta \right)=r\hat{r}$

Sen kan man räkna ut accelerationen på polära koordinater

$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\stackrel{..}{(r } -r{\stackrel{.}{\theta }}^2)\hat{r}+(r\stackrel{..}{\theta } +2\stackrel{.}{r}\stackrel{.}{\theta })\hat{\theta }$

Slutligen använder man att rörelsemängdsmomentet

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}x \stackrel{\rightharpoonup }{p} = m\stackrel{\rightharpoonup }{r}x \stackrel{\rightharpoonup }{v}= m\stackrel{\rightharpoonup }{r}x (\stackrel{.}{r} \hat{r}+r\stackrel{.}{\theta }\hat{\theta })=m{r}^2\stackrel{.}{\theta }\hat{z}$

är konstant.

r hatt och theta hatt är enhetsvektorer.

prick betyder derivata med avseende på tiden.

Om man sedan substituerar u=1/r får man fram en diffekvation som är lösbar om kraften är omvänt proportionell mot avståndet i kvadrat.

Man skulle ju också kunna ställa upp ekvationen i cartesiska koordinater. Det kan vara enklare om man ska försöka sig på en numerisk lösning.

Men om jag skulle göra det hela skulle jag börja med att försöka förstå vad som skulle hända om kraften är omvänt proportionell mot avståndet samt när det är omvänt proportionell mot avståndet upphöjt till tre. 

Feynman Lectures har ett avsnitt där han beräknar planetbanor numeriskt. Det borde vara enkelt att modifiera för andra värden på exponenten.