Undersöka grändvärden.

En variant att prova är att sätta t = 1/x.

Det kanske finns en smartare metod, men jag skrev om så det blev (1+y)^1/3 där y är något med x i som går mot 0 när x går mot oändligheten. Sedan serieutvecklade jag (1+y)^1/3 en bit. Samma med den andra roten. I differensen tar x-potenser först ut varandra några gånger, men när de inte gör det längre så kan vi slutföra gränsvärdesberäkningen.

Jag tror på Dr. G:s metod som kan kombineras med seriutvecklingen för:

$(1+t{)}^a=1+at+\frac{a(a-1)}{2!}{t}^2+...$

Tack för fina svar.

Jag tror det är Lagunas metod jag skall använda då jag har arbetat med den förr. Dvs ta de båda talen och serieutveckla dessa. Men hur ska jag kunna välja något tal så båda blir 1+y inom respektive parentes? För om jag har förstått det rätt så är det väldigt strängt att det skall vara "1+x" i parentesen om man skall utveckla enligt (1+x)^a.

Om man sätter att när x går mot oändligheten så går y mot noll så kan man sätta x^3+3x^2 = 1+y.

Men hur skall man sedan kunna få nästa parentes ( (x^2+2x-3)^1/2 ) till 1+y också?

Aningen förvirrad så ber om ursäkt för en otydlig frågeställning! 

Allt är samma metod.

Första roten menar vi att du ska göra så här med: $\sqrt{x^3+3x^2} =x\sqrt{1+\frac{3}{x}}$. Roten som uppkom nu kan du serieutveckla enligt formeln som tomast80 visade.

Laguna skrev:

Allt är samma metod.

Första roten menar vi att du ska göra så här med: $\sqrt{x^3+3x^2} =x\sqrt{1+\frac{3}{x}}$. Roten som uppkom nu kan du serieutveckla enligt formeln som tomast80 visade.

 Jaha där trillade polletten ner! Ska räkna på det så fort jag får tid, tack!

Laguna skrev:

Allt är samma metod.

Första roten menar vi att du ska göra så här med: $\sqrt{x^3+3x^2} =x\sqrt{1+\frac{3}{x}}$. Roten som uppkom nu kan du serieutveckla enligt formeln som tomast80 visade.

 Jag har testat ett par ggr att göra talet igen nu utan att riktigt få det att stämma.

Mitt problem är fortfarande att jag inte riktigt förstår hur jag skall kunna få i detta fallet "3/x" till y för att kunna utnyttja (1+y)^a samtidigt som jag vill kunna skriva $\sqrt{x^2+2x-3}$ på samma form.

Säg att jag sätter 3/x till y där y går mot noll då x går mot oändligheten. Såväl är ju allt bra. Men då kommer ju problemet att jag inte kan skriva $\sqrt{x^2+2x-3}$ på  samma form ( (1+y)^a ).

Jag har även testat att sätta x=1/u som rekommenderat ovan utan några vidare resultat.

Vi har många tal i boken just nu som är liknande där man ska använda sig av Maclaurinutvecklingar där jag förstår principen av talen och vart jag vill komma men jag har fruktansvärt svårt att kunna lista ut vad jag skall sätta diverse tal till för att kunna serieutveckla. Har ni kanske några generella tips vad man bör kolla på?

Det går att skriva på samma form. Om $x>0$ gäller att:

$\sqrt{x^2+2x-3}=x\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}$

Sätt $y=\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}$

Om $x$ är stort gäller att $y$ är litet och du får ett uttryck på formen: $(1+y{)}^a$.

Prova att först förlänga med täljarens konjugatuttryck för att sedan studera de dominerande bidragen till gränsvärdet. 

   $x\cdot\frac{(x^3+3x^2)^{2/3}-x^2-2x+3}{\sqrt{x^2+2x-3}}$

Notera att $x$ är ett stort positivt tal. 

   $x·\frac{x^2·(1+3x^{-1}{)}^{2/3}-x^2-2x+3}{x\sqrt{1+2x^{-1}-3x^{-2}}}.$

Redigering: I täljaren ska det stå $-x^2-2x+3$. (Jag kan inte redigera det sista uttrycket då det preseneteras i redigeringsprogrammet som en bild, men uttrycket ovanför presenteras inte som en bild...)

Albiki skrev:

Redigering: I täljaren ska det stå $-x^2-2x+3$. (Jag kan inte redigera det sista uttrycket då det preseneteras i redigeringsprogrammet som en bild, men uttrycket ovanför presenteras inte som en bild...)

 Dubbelklicka på bilden så får du upp en editor. (en lösning men ingen förklaring till varför problemt uppstod).

Jag ändrade ditt inlägg åt dig. (hoppas att det är ok)

joculator skrev:

Albiki skrev:

Redigering: I täljaren ska det stå $-x^2-2x+3$. (Jag kan inte redigera det sista uttrycket då det preseneteras i redigeringsprogrammet som en bild, men uttrycket ovanför presenteras inte som en bild...)

 Dubbelklicka på bilden så får du upp en editor. (en lösning men ingen förklaring till varför problemt uppstod).

Jag ändrade ditt inlägg åt dig. (hoppas att det är ok)

 Tack för att du hjälpte mig med mitt inlägg.

Jag ser nu att nämnaren saknar en kubikrot, så nämnaren ska vara

    $(x^3+3x^2)^{1/3}+\sqrt{x^2+2x-3}$

vilket ger kvoten

    $x·\frac{x^2(1+3x^{-1}{)}^{2/3}-x^2-2x+3}{x·\left\{\right(1+3x^{-1}{)}^{1/3}+\sqrt{1+2x^{-1}-3x^{-2}}\}}$.