Undersöka en funktion, extrempunkter, konvexitetsegenskaper och asymptoter.
gradefen. Missade att få med hela frågan..
Jag har börjat med att derivera funktionen, men var ju inte jätteenkelt.. Men då jag måste göra om det igen för att hitta andra derivatan undrar jag ifall jag kan göra någon substition eller något? Jag skrev om absolutbeloppet till och deriverade på.
Har för mig att jag kan dela upp det i två fall som man brukar göra med absolutbelopp, men är lite osäker och hittar inget i boken.. Tänker mig något som detta;
och
.
För när jag har derivatan och andra derivatan kan jag se hur lutningen går i punkterna samt extrempunkterna, så då gör jag en teckentabell för att kunna skissera grafen. Vet också att en lodrät asymptot finns då x är -2 då funktionen inte är definierad där.
Konvexitetegenskaper har jag ingen aning om ännu, så får kika igenom boken om det.
Men för att återgå till ursprungsfrågan, vad säger ni om deriveringen? Några tips?
Tack på förhand!
OBS! Minustecknet i den givna funktionen (vi kallar den f) står framför bråkstrecket. Det kommer då att gälla även termen x2 i täljaren.
I övrigt är idéen med uppdelningen korrekt. Att sätta under rotmärke försvårar nog mer än det underlättar. En hel del kneg väntar. Ta reda på vänster- och högergränsvärde när x går mot 1, först för f själv. Då får du reda på om f är kontinuerlig i x=1. Därefter för differenskvoten för f. Då får du reda på om f är deriverbar i x=1. Höger- och vänstergränsvärdena måste överensstämma för f ska vara kontinuerlig resp. deriverbar.
Konvexitet: Negativ andraderivata medför f konvex. Positiv andraderivata medför f konkav. Om ingen derivata finns så kan f likväl vara konvex alt. konkav.
Tomten skrev:OBS! Minustecknet i den givna funktionen (vi kallar den f) står framför bråkstrecket. Det kommer då att gälla även termen x2 i täljaren.
I övrigt är idéen med uppdelningen korrekt. Att sätta under rotmärke försvårar nog mer än det underlättar. En hel del kneg väntar. Ta reda på vänster- och högergränsvärde när x går mot 1, först för f själv. Då får du reda på om f är kontinuerlig i x=1. Därefter för differenskvoten för f. Då får du reda på om f är deriverbar i x=1. Höger- och vänstergränsvärdena måste överensstämma för f ska vara kontinuerlig resp. deriverbar.
Konvexitet: Negativ andraderivata medför f konvex. Positiv andraderivata medför f konkav. Om ingen derivata finns så kan f likväl vara konvex alt. konkav.
Oj, jag har gjort på ett helt annat sätt än vad du skrivit.. Mitt lär ju vara helt fel, då det varit mycket enklare 😅😭
Tänkte nu göra teckentabeller för att kunna rita mina funktioner.
Det du gjort avviker inte från det jag rekommenderat och är inte onödigt arbete. Fortsätt bara med vänster- och högergränsvärde vid x=1 , dra slutsatser och rita kurvan.
Tomten skrev:Det du gjort avviker inte från det jag rekommenderat och är inte onödigt arbete. Fortsätt bara med vänster- och högergränsvärde vid x=1 , dra slutsatser och rita kurvan.
Ah, dåså! Då kör jag vidare med mitt :)
Ska jag göra gränsvärden ifrån båda hållen i båda mina fall? Eller räcker det med att göra ett gränsvärde ifrån höger i fall 1 och ifrån vänster i fall 2?
Men hur ska jag tolka det? :/ Är osäker på gränsvärden.
Har tror även att jag har en sned asymptot, men vet inte hur jag ska hitta den. Jag insåg det när jag gick igenom första bladet jag la upp här när jag kollade på mina funktioner efter omskrivning, dom , har väl en sned asymptot då y=-x? Men den andra omskrivningen är jag inte klok på, , har ju en konstantterm i sig. Hur är det då?
Du har gjort i princip rätt. Och nej, Du kan inte gå från höger resp vänster i BÅDA fallen för när x>1 är det bara fall 1 som gäller för f(x) och när x<1 är det bara fall 2 som gäller för f.
En formalitet bara: när man skriver lim f(x) så skriver man inte också "går mot" utan man skriver "lim f(x) = ...." Man kan också skriva ut "f(x) går mot ..." (Tur för mig som inte har lim-symbol i min dator.)
Ang din sneda asymptot. När jag misstänker att f(x) har en sned asymptot y=kx+m, brukar jag titta på gränsvärdet av abs(f(x)-y) när x går mot oändligheten. I ditt fall 1 blir det abs(2/(x+2)- x -(-x))= abs(2/(x+2)) som går mot 0 när x går mot +oändligheten. Således närmar sig f(x) linjen y=-x när x går mot oändligheten, dvs y=-x är en sned asymptot. I fall 2 måste du låta x går mot -oändligheten för där ska ju x<0..
Tomten skrev:Du har gjort i princip rätt. Och nej, Du kan inte gå från höger resp vänster i BÅDA fallen för när x>1 är det bara fall 1 som gäller för f(x) och när x<1 är det bara fall 2 som gäller för f.
En formalitet bara: när man skriver lim f(x) så skriver man inte också "går mot" utan man skriver "lim f(x) = ...." Man kan också skriva ut "f(x) går mot ..." (Tur för mig som inte har lim-symbol i min dator.)
Ang din sneda asymptot. När jag misstänker att f(x) har en sned asymptot y=kx+m, brukar jag titta på gränsvärdet av abs(f(x)-y) när x går mot oändligheten. I ditt fall 1 blir det abs(2/(x+2)- x -(-x))= abs(2/(x+2)) som går mot 0 när x går mot +oändligheten. Således närmar sig f(x) linjen y=-x när x går mot oändligheten, dvs y=-x är en sned asymptot. I fall 2 måste du låta x går mot -oändligheten för där ska ju x<0..
Tackar! Då har jag gjort rätt :)
Och tack för rättningen! Är bara mina anteckningar, men rätt ska vara rätt! :) Men kvarstår fortfarande hur jag ska tolka att mina gränsvärden går mot -1/3.
Tackar för det med den sneda asymptoten, ska kika lite mer på det :)
Tomten skrev:Du har gjort i princip rätt. Och nej, Du kan inte gå från höger resp vänster i BÅDA fallen för när x>1 är det bara fall 1 som gäller för f(x) och när x<1 är det bara fall 2 som gäller för f.
En formalitet bara: när man skriver lim f(x) så skriver man inte också "går mot" utan man skriver "lim f(x) = ...." Man kan också skriva ut "f(x) går mot ..." (Tur för mig som inte har lim-symbol i min dator.)
Ang din sneda asymptot. När jag misstänker att f(x) har en sned asymptot y=kx+m, brukar jag titta på gränsvärdet av abs(f(x)-y) när x går mot oändligheten. I ditt fall 1 blir det abs(2/(x+2)- x -(-x))= abs(2/(x+2)) som går mot 0 när x går mot +oändligheten. Således närmar sig f(x) linjen y=-x när x går mot oändligheten, dvs y=-x är en sned asymptot. I fall 2 måste du låta x går mot -oändligheten för där ska ju x<0..
I fall 2 får jag någon konstigt med asymptoten, min funktion är ju en linjär funktion men med en konstant. I fall 1 som inte har någon konstant får jag också y=-x, men i fall 2 får jag y=-x+4..
1. Att höger- och vänstergränsvärdena för f(x) är lika när x går mot 1 innebär att funktionen är KONTINUERLIG i x=1, (vilket alltså inte är självklart). Har ni fått en exakt definition på kontinuitet ännu? Du har det nog i din bok.
2. Att man kan få en annan sned asymptot när x går mot -oändligheten är inget konstigt, särskilt inte när f är olika definierad beroende på om x<1 eller x>1.
Tomten skrev:1. Att höger- och vänstergränsvärdena för f(x) är lika när x går mot 1 innebär att funktionen är KONTINUERLIG i x=1, (vilket alltså inte är självklart). Har ni fått en exakt definition på kontinuitet ännu? Du har det nog i din bok.
2. Att man kan få en annan sned asymptot när x går mot -oändligheten är inget konstigt, särskilt inte när f är olika definierad beroende på om x<1 eller x>1.
Så min funktion är inte kontinuerlig då "den inte går att rita utan att lyfta pennan"? :p
Men när jag kollar funktionen i en grafritare så ser jag bara asymptoten y=-x+1. Jag fick y=-x (som dig) och sen y=-x+4?
I x=1 har du redan visat att den är kontinuerlig. I x=-2 är det emellertid problem med att inte ha en exakt definition. Det där med "lyfta pennan" får man inte dra några skarpa slutsatser av. Den här funktionen ÄR kontinuerlig i hela sitt definitionsområde, men eftersom det fattas en punkt för att det ska bli hela R, så måste man "lyfta pennan".
Kan du visa mig den graf du fick. Om det nu finns något fel, kanske jag kan hitta det.
