Undersök om talföljden konvergerar

Finns väl flera metoden men den enklaste är denna

En allmän rekursiv talföljd kan definieras via en funktion $f(x)$ som 

$x_{n + 1} = f(x_{n+ 1})$

Om funktionen har ett gränsvärde så kommer man ha $x_{n + 1} \approx x_{n}$ så man kan säga

$x_{n} \approx f(x_n)$

för stora n och sedan kan man hitta gränsvärdet $x$ genom att sätta

$x = f(x)$

och lösa denna ekvation.

För (a)-fallet har man exempelvis

$f(x) =(2x + 1)/(x + 2)$

så motsvarande ekvationen är

$x =(2x + 1)/(x + 2)$

$x(x + 2) = (2x + 1)$

$x^2 + 2x  = 2x + 1$

$x^2 = 1$

så det finns två möjliga gränsvärden $x_1 = -1$ och $x = 1$

Huruvida ett visst startvärde ger en talföljd som konvergerar mot något av dessa gränsvärden beror på om punkterna är 'stabila' och om startvärdet befinner sig inom deras 'attraktionszoner'.

1. Man kan avgöra om ett potentiellt gränsvärde är attraktivt genom att se om funktionens derivata har ett absolutbelopp som är mindre än 1.

https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation#Stability

$f'(x) = 1/(x + 1)^2$

För x = -1 så är derivatans absolutbelopp inte mindre än 0. Om $x = 1$ så är derivatan däremot $f'(1) < 1/(1="" +="" 1)^2="1/4"><>$

så x = 1 är en stabil punkt.

Om man vet att talföljden konvergerar kan man lämna det där men annars får man kontrollera att den är attraktiva zonen är stor nog att den innehåller 0, dvs att derivatan är mindre än 1 på intervallet [0,1].