Undersök om gränsvärdet existerar (Matematik/Universitet)

Du kan prova att sätta x till två, och låta y närma sig ett (och vice versa, sätt y till ett och låt x närma sig två). Om du vill närma dig längs en sned linje, finns det någon linje som går genom (2,1) och någon annan punkt, exempelvis origo? :)

Jag satte in 2 och lät y närma sig 1 vilket blev odefinierat och vise versa. Sedan gjorde jag så att jag använde enpunktsformeln $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ där ( $y_{0}$ , $x_{0}$ )=(2,1)

$y = k (x - 2) + 1$ och testade olika värden för k och kastade in linjens ekvation istället för y och lät x närma sig 2, men det blev också odefinierat.

Jag testade att kasta in en sned linje, $y = x^{2} + 1$ och lät x närma sig 2 och fick fram att gränsvärdet blev $\frac{1}{4}$

Kan man då säga att gränsvärdet inte existerar eftersom att vi fick olika värden i olika riktningar.

Har jag tänkt och gjort rätt?

Det stämmer att gränsvärdet inte existerar, men gränsvärdet är inte odefinierat om du sätter in 2 och låter y närma sig ett. Om du gör det ska du få $\lim_{y \to 1} (\frac{{(2 - 2)}^{2} (y - 1)}{{(2 - 2)}^{4} + {(y - 1)}^{2}}) = \lim_{y \to 1} (\frac{0}{{(y - 1)}^{2}}) = \lim_{y \to 1} (\frac{0}{0})$ .

$\lim_{y \to 1} (\frac{0}{2 (y - 1)}) \overset{(derivera igen)}{=} \lim_{y \to 1} (\frac{0}{2}) = 0$

Notera att L'Hospitals regel endast är en regel för endimensionella problem, men eftersom vi reducerat vårt problem från två variabler till en, går det att använda L'Hospital här. :)

Juste då fattar jag!

Kan man då dra slutsatsen att vi fick två olika värden i olika riktningar.

Rolig bild förresten :)

Ja, precis! Eftersom vi får olika gränsvärden när vi går mot samma punkt på olika sätt, kan det inte finnas ett gränsvärde.

(tyvärr har jag inte gjort den själv)

Tack så hemskt mycket för hjälpen!

Man kan också sätta:

$x=2+r\cos \theta$

$y=1+r\sin \theta$

och låta $r\to 0^+$

och undersöka om gränsvärdet beror på vinkeln $\theta$ .

Tja jag öppnade tråden igen för att jag gjorde fel på själva uppgiften.

Jag fattar hur man gör nu, men jag insåg att alla mina resultat blev detsamma när jag gjorde om uppgiften.

Jag får att alla svar blir = 0 när jag approximerar från en rak linje, en sned linje eller en potens funktion.

Jag testade även tomast80 sätt:

$x = 2 + r \cos (θ) y = 1 + r \sin (θ) o c h l ä t r \to 0^{+} v i s ä t t e r i n i f u n k t i o n e n o c h f å r : \lim_{r \to 0^{+}} \frac{{(2 + r \cos (θ) - 2)}^{2} \cdot (1 + r \sin (θ) - 1)}{{(2 + r \cos (θ) - 2)}^{4} + (1 + r \sin (θ) - 1)} \Rightarrow \lim_{r \to 0^{+}} \frac{r^{2} \cos (θ) \sin (θ)}{r^{4} \cos^{4} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ)} \Rightarrow \lim_{r \to 0^{+}} \frac{r^{2} \cos (θ) \sin (θ)}{r^{4} \cos^{4} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ)} \Rightarrow \lim_{r \to 0^{+}} \frac{\cos (θ) \sin (θ)}{r^{2} \cos^{4} (θ) + \sin^{2} (θ)}$

Men jag vet inte riktigt hur jag ska fortsätta.

Jag gjorde om frågan och kom fram till detta.

Jag vet inte riktigt vad mer jag kan göra för att bevisa att det inte existerar.

I svaret står det att det inte existerar.

ogrelito skrev:
Tja jag öppnade tråden igen för att jag gjorde fel på själva uppgiften.
Jag fattar hur man gör nu, men jag insåg att alla mina resultat blev detsamma när jag gjorde om uppgiften.
Jag får att alla svar blir = 0 när jag approximerar från en rak linje, en sned linje eller en potens funktion.
Jag testade även tomast80 sätt:
$x = 2 + r \cos (θ) y = 1 + r \sin (θ) o c h l ä t r \to 0^{+} v i s ä t t e r i n i f u n k t i o n e n o c h f å r : \lim_{r \to 0^{+}} \frac{{(2 + r \cos (θ) - 2)}^{2} \cdot (1 + r \sin (θ) - 1)}{{(2 + r \cos (θ) - 2)}^{4} + (1 + r \sin (θ) - 1)} \Rightarrow \lim_{r \to 0^{+}} \frac{r^{2} \cos (θ) \sin (θ)}{r^{4} \cos^{4} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ)} \Rightarrow \lim_{r \to 0^{+}} \frac{r^{2} \cos (θ) \sin (θ)}{r^{4} \cos^{4} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ)} \Rightarrow \lim_{r \to 0^{+}} \frac{\cos (θ) \sin (θ)}{r^{2} \cos^{4} (θ) + \sin^{2} (θ)}$
Men jag vet inte riktigt hur jag ska fortsätta.

Den första termen i nämnaren med $r^2$ går ju mot 0. Då har du kvar ett gränsvärde som beror på vinkeln $\theta$ , d.v.s. från vilken riktning du närmar dig punkten har betydelse för gränsvärdet. Alltså existerar det ej.

EDIT: det blir väl $r^3$ i täljaren? Denna var lite lurig, man måste välja speciella vinklar där sin eller cos är 0 för att inse vilka olika värden gränsvärdet kan anta.

Jag får pudla på denna uppgift. Får gränsvärdet till 0 för alla vinklar $\theta$ . Rätta mig gärna om jag har fel! ☝️

Jag råkade skriva fel på två ställen ser jag.

I täljaren ska det stå $r^{3}$ och i nämnaren glömde jag skriva ${(1 + r \sin (θ) - 1)}^{2}$

Jag fick :

$\lim_{r \to 0^{+}} \frac{r^{3} \cos (θ) \sin (θ)}{r^{4} \cos^{4} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ)} \Rightarrow \lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \cos (θ) \sin (θ)}{r^{2} \cos^{4} (θ) + \sin^{2} (θ)}$

Jag fattar inte hur de gjorde, men såhär gjorde de i facit i alla fall.

Smart! De närmar sig längs en andragradskurva! Mitt råd är att först byta variabler så gränsvärdet går mot origo. $t=x-2$ , $u=y-1$ .
Sedan sätter man $u=kt^2$ .
Jag hade skrivit in fel uttryck i Wolfram Alpha. Rätt nu nedan:

Så då får man:

$\lim_{(t, u) \to (0, 0)} \frac{t^{2} u}{t^{4} + u^{2}}$

När vet man att ett variabelbyte måste ske?

Det måste inte ske, bara att det oftast, enligt mig i alla fall, är enklare med ett gränsvärde mot origo. Blir lite smidigare uttryck.

Aha ok.

Tack för hjälpen!