Undersök om funktionen har något största och minsta värde.

Ungefär så, men:

* Att stoppa in +-1 är mer av en kontroll än ett bevis. För att motivera dessa värden bör man lösa ekvationen $\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} = 0$ (vilket ger dig x=-1 och x=1). Annars har man inte uteslutit möjligheten att det finns ännu fler punkter där derivatan är noll.

* Det du visar med detta är att kurvans lutning är 0 i x=-1 och x=1. Det behöver inte betyda att dessa är max och min. Båda skulle kunna vara minima, båda maxima, eller terasspunkter (som är varken min eller max, men där lutningen är noll ändå). För att visa min/max bör man använda andraderivatan.

* Även när du kommit fram till att dessa punkter faktiskt är max- och minpunkter så visar derivataresonemanget bara att de är lokala extrempunkter. Det behöver inte i sig innebära att kurvan överallt håller sig mellan dessa extremer, utan skulle genom ett kontinuitetsbrott kunna hoppa utanför dessa gränser. Därför bör du också, för att vara stringent, undersöka om kurvan gör ett sånt hopp genom att studera vad som händer där/om nämnaren är noll.

Tillägg: 9 okt 2021 13:47

Ännu en sak: En tredjegradskurva som t.ex. $y =x^3-2x^2$ har lokala max- och minpunkter, och inget kontinuitetsbrott, men har ändå inget största eller minsta värde eftersom den fortsätter mot oändligheten i båda riktningar. Det gör inte din kurva som lägger sig kring x-axeln. x-axeln är alltså en horisontell asymptot, vilket borde ingå som ett led i ett bevis.

Du behöver dels undersöka funktionens värden vid alla stationära punkter och dels undersöka vad som händer vid/nära definitionsmängdens ändpunkter.

Grym beskrivning men hur gör man rent praktiskt efter man sätter prim av funktionen till noll och inte kan lösa säg via pq formeln? har ett annat tal också där jag fastnar på samma sätt $y´ = 8\cos 2x$
Så i både den här och den vi pratar om så kommer jag inte längre. Ska ju få fram vart är max och mini , en derivata ska ju säga detta om man sätter funktionen till noll eller hur? fast vad gör man sedan? 

Ekvationen ser krångligare ut än vad den är, du kan multiplicera båda led med nämnaren:

$\dfrac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad -x^2+1 = 0$

Undersök funktionsvärdet i alla stationära punkter (som du hittar genom att lösa ekvationen f'(x) = 0). Observera att du inte behöver ta reda på huruvida de stationära punkterna är min- max- eller terrasspunkter.

Om definitionsmängden är begränsad så undersöker du funktionsvärdet i definitionsmängdens ändpunkter (eller gränsvärdet då x närmar sig dessa begränsningspunkter).

Om definitionsmängden är obegränsad åt något håll så undersöker du funktionsvärdet då x går obegränsat åt det hållet.

Du har då hittat alla kandidater till funktionens största/minsta värde.

Skaft skrev:

Ekvationen ser krångligare ut än vad den är, du kan multiplicera båda led med nämnaren:

$\dfrac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad -x^2+1 = 0$

Så du multiplicerar båda led , utvecklar båda led sedan tar man bort de som går att ta bort?

Nja, jag multiplicerar båda led och förenklar direkt. I högerledet blir det ju 0 * nånting, så det blir noll:

$\dfrac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} = 0 \\ \dfrac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}\cdot (x^2+1)^2 = 0\cdot (x^2+1)^2 \\ -x^2+1 = 0$

Skaft skrev:

Nja, jag multiplicerar båda led och förenklar direkt. I högerledet blir det ju 0 * nånting, så det blir noll:

$\dfrac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} = 0 \\ \dfrac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}\cdot (x^2+1)^2 = 0\cdot (x^2+1)^2 \\ -x^2+1 = 0$

Det där var de sjukaste jag sett. Kan man alltid göra så om andra sidan är noll  alltid? då kan man väl alltid styrka nämnaren?  :D 

Ja, i en ekvation där en kvot är lika med noll, då betyder det att täljaren är 0 =)

Sjukt, typ bästa informationen jag fått sedan födseln. 
Men kan vi prata lite om y´= 8cos2x. 
Är väldigt ringrostig på dessa ekvationer, är några kap fram i boken och nu ska jag liksom gå tillbaka och läsa om för det är nationella på torsdag. Men iaf hur ska man tänka här? kan jag multiplicera över 8an på andra sidan också? om det är y´=0 dvs? 

Vill du fråga om andra ekvationer är det bättre att starta ny tråd, brukar vara "en uppgift per tråd" som gäller. Men eftersom det går fort: dividera bort 8:an (inte multiplicera, då får du 8*8 = 64 på ena sidan)

$8\cos(2x) = 0 \\ \cos(2x) = 0$

Sen arccos på båda led, kom ihåg +/- pga cosinus, och lägg på perioder:

$2x = \pm\arccos(0) + n\cdot 360\\ 2x = \pm 90 + n\cdot 360$

Och till slut, dividera bort 2:an.

Skaft skrev:

Vill du fråga om andra ekvationer är det bättre att starta ny tråd, brukar vara "en uppgift per tråd" som gäller. Men eftersom det går fort: dividera bort 8:an (inte multiplicera, då får du 8*8 = 64 på ena sidan)

$8\cos(2x) = 0 \\ \cos(2x) = 0$

Sen arccos på båda led, kom ihåg +/- pga cosinus, och lägg på perioder:

$2x = \pm\arccos(0) + n\cdot 360\\ 2x = \pm 90 + n\cdot 360$

Och till slut, dividera bort 2:an.

Super stort tack Skaft! Lärorik session. Med vänlig hälsning, Philip