Undersök om det finns en minimipunkt

a) Vad kan man säga om andraderivatan om en funktion har en maxpunkt?

Andraderivatan ska vara negativ för att det ska vara en maxpunkt. Jag har dock löst a)

Det är b) jag har problem med.

Hur löste du a-uppgiften och vad kom du fram till?

Rita upp -4x och 6*cos(x/2) på en graf och då kan du se att de skär varandra, vilket betyder att det finns en punkt där andraderivatan = 0 (Vilket måste vara en minimipunkt)

Tillägg: 12 jun 2023 19:18

Jag menar såklart förstaderivatan och inte andraderivatan

Eller fullfölj detta resonemang,

f(x) = 2x² +12sin(x/2) + C

dvs summan av en parabel, en sinusfunktion och en konstant

Parabeln har en minimipunkt för x = 0, inses direkt.

sinusfunktionen varierar mellan +12 och -12

konstanten är just det, konstant.

Då inser man att för mycket små x (stort negativt värde ) kommer parabeln att dominera och f(x) får ett stort positivt värde, samma sak för stora positiva x.

sinusfunktionen kommer att utgöra ett rippel på parabeln och eftersom f är kontinuerlig och definierad i hela R måste det finnas åtminstonde ett lokalt minimum mellan de två stora värden f(x) har när beloppet(x) är stort. Ett av dessa lokala minimum är också ett globalt min.

Eftersom andraderivatan är större än noll för alla x (vilket bevisades i a-uppgiften), så måste grafen till förstaderivatan vara strängt växande. Detta betyder att funktionen $y=f\text{'}\left(x\right)$ hela tiden lutar uppåt och kommer således att skära x-axeln endast en gång. Låt skärningspunkten med x-axeln vara $(a,0)$.

Då inser man att ekvationen $f\text{'}\left(x\right)=0$ har en lösning, nämligen $x=a$. Vi vet sedan tidigare att $f\text{'}\text{'}\left(x\right)>0$ för alla x. Sammantaget betyder detta att det existerar en punkt på grafen $y=f\left(x\right)$ som uppfyller både $f\text{'}\left(a\right)=0$ och $f\text{'}\text{'}\left(a\right)>0$. Den punkten måste således vara en minimipunkt.

edit: Jag kom nyss på att det finns funktioner med positiv derivata som inte behöver skära x-axeln, till exempel funktionen $e^x$. För att visa att $f\text{'}\left(x\right)$ skär x-axeln bör man därför beräkna funktionsvärdet vid två olika x-värden och kontrollera att den går genom x-axeln mellan dessa punkter.