Undersök konvergens genom kvotkriteriet

Jag har för mig att kvotkriteriet är:

Serien $\sum_{k=0}^\infty a_k$ är konvergent om $\lim_{k\rightarrow\infty} |\dfrac{a_{k+1}}{a_k}|<>$. 

I ditt fall är då $a_{k+1}=\dfrac{(2(k+1))!}{(3(k+1))!}=....$ och

$a_k=\dfrac{(2k)!}{(3k)!}$.

Vad är kvoten? 

Jo, jag är med på hur kvotkriteriet fungerar, men jag får inte ihop det. Enligt min uträkning går L mot 1 vilket innebär att man inte kan dra någon slutsats om konvergens eller divergens. 

Använd att $(2k+1)!=(2k+1)*(2k)*(2k-1)*...*1$ och $(3k+1)!=(3k+1)*(3k)*(3k-1)*...*1$ och att

$(2k)!=2k*(2k-1)*...*1$ och $3k!=3k*(3k-1)*...*1$. Kvoten ger då:

$\dfrac{\frac{(2k+1)*(2k)*(2k-1)*...*1}{(3k+1)*(3k)*(3k-1)*...*1}}{\frac{2k*(2k-1)*...*1}{3k*(3k-1)*...*1}}$. Förenkla denna så får du att $\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{((2k+1)*(2k)*(2k-1)*...*1)(3k*(3k-1)*...*1)}{((3k+1)*(3k)*(3k-1)*...*1)(2k*(2k-1)*...*1)}=\dfrac{2k+1}{3k+1}$.  Vad händer då när $\lim_{k\rightarrow\infty}$? Bryt ut ett $k$ och se. :)

Woozah, det där stämmer inte, för (3k+1)! har fler faktorer än (2k+1)!. Men det är bara bra, för det gör kvoten ännu mindre.

Laguna skrev:

Woozah, det där stämmer inte, för (3k+1)! har fler faktorer än (2k+1)!. Men det är bara bra, för det gör kvoten ännu mindre.

Jag upptäckte det. Jag skulle använt $(2k+2)!$ istället för $(2k+1)!$ och $(3k+3)!$ istället för $(3k+1)!$. Om du använder dessa så får du fortfarande (det korrekta) svar. :)

Jag förstår nu! Tusen tack! :)