Undersök hur vektorerna ska placeras i det komplexa talplanet.

Undersök hur vektorerna $z_{1}$ och $z_{2}$ ska placeras i det komplexa talplanet för att likheten $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$ ska gälla. Motivera dina slutsatser.

Hur ska jag tänka här? Jag tänker att absolutbeloppen ju ger mig längden av vektorerna, men det hjälper mig inte så mycket.

Jag började såhär: $z_{1} = a + b i o c h z_{2} = c + d i$

Jag får då

$|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{a^{2} + 2 a c + c^{2} + b^{2} + 2 b d + d^{2}} o c h |z_{1}| + |z_{2}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}}$

Men sedan kommer jag inte längre. Jag misstänker att jag är lite fel ute, och att jag ska ägna mig mer åt att rita i det komplexa talplanet, men har inte riktigt fått kläm på hur jag ska tänka än och då är det svårt att veta hur jag ska börja...

Detta löses enklare med paralellogramdefinitionen av additionen där sidorna på parallellogrammet är talen och diagonalen deras summa.

Du kan komma vidare i din ekvation också genom att kvadrera båda led och flytta runt. Kommer bli lite plottrigt men du klarar det.

Vad måste gälla för att $|z_1+z_2|$ ska vara lika med $|z_1|+|z_2|$ ?

Okej. Förlåt om jag är trög, men parallellogramdefinitionen är okänd för mig, kan du förklara vad det handlar om?

Jag har försökt komma vidare med min ekvation men vet inte riktigt vad det är jag vill få fram...

Får det till:

$a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} = 2 a b c d$

Men sen då?

Jadu Yngve, det är den stora frågan... Fast jag har ju tittat i facit så jag vet svaret, men vill förstå hur jag ska komma fram till det. En fråga bara, det som du i bilden skriver som konjugatet av $z_{1} o c h z_{2}$ , det är ju inte samma sak som absolutbeloppet, eller? Ska jag göra något med konjugaten? I mitt fall alltså $z_{1} = a - b i o c h z_{2} = c - d i$ ...

Om jag nu kan lösa den med ekvationen jag påbörjat får ni gärna förklara sista stegen? Vad är det jag vill lösa ut?

Är också nyfiken på lösningen man kunde få fram med parallellogramdefinitionen, men då får någon gärna förklara vad den går ut på :)

Du har de komplexa talen $z_1 = a+bi$ och $z_2 = c+di$ . Då är $Z_1+z_2 = a+c+(b+d)i$ . Rita upp de tre vektorerna och komplettera med två vektorer till som är parallella med $z_1$ respektive $z_2$ så att du får en parallellogram.

EDIT: Det skall vara +, inte -.

Varför är $z_{1} + z_{2} = a + c + (b - d) i o c h i n t e a + c + (b + d) i ?$

Försökte rita upp det här, med de orangea linjerna som bildar ett parallellogram, men hur kommer jag fram till svaret? "Endast då vektorerna $z_{1} o c h z_{2}$ är parallella, gäller likheten. Detta betyder att $z_{1} = k * z_{2}$ . Vad betyder det?

Om längden av diagonalen skall vara lika lång som summan av sidorna, måste de båda sidorna peka åt samma håll (och då blir det en väldigt ful parallellogram).

Epersson88 skrev :
Jadu Yngve, det är den stora frågan... Fast jag har ju tittat i facit så jag vet svaret, men vill förstå hur jag ska komma fram till det. En fråga bara, det som du i bilden skriver som konjugatet av $z_{1} o c h z_{2}$ , det är ju inte samma sak som absolutbeloppet, eller?

My bad. Jag ritade streck ovanför för att visa att det var vektorer, de var inte avsedda som konjugatmarkeringar.

Blir det inte enklare att visa detta på polär form?

$|z_1|+|z_2| = r_1+r_2$

$z_1+z_2 = r_1e^{iv_1} + r_2e^{iv_2}$

$|z_1+z_2| = ...$

Svara

Visa senaste svar