Undersök funktionen𝑓(𝑥)=𝑥3+3𝑥22−6𝑥−3med hjälp av derivata. (Matematik/Matte 3)

Du använder derivatan för funktionen för att få fram extrempunkterna. Då du gjort det kan du skissa grafen och se svaret på a).

Se mer teori här

Henning skrev:
Du använder derivatan för funktionen för att få fram extrempunkterna. Då du gjort det kan du skissa grafen och se svaret på a).

Se mer teori här

när jag derivera fick jag 3x^2+(6x/2²)-6 stämmer det?

Mittentermen stämmer inte.
Du har $\frac{3 x^{2}}{2} = \frac{3}{2} \cdot x^{2}$

3/2 är en faktor som inte påverkas vid deriveringen. Vad blir derivatan av $x^{2}$ ?

Henning skrev:
Mittentermen stämmer inte.
Du har $\frac{3 x^{2}}{2} = \frac{3}{2} \cdot x^{2}$

3/2 är en faktor som inte påverkas vid deriveringen. Vad blir derivatan av $x^{2}$ ?

blir det 3+2x/2 ? men det är ju 3x^2 enligt deriveringsreglerna ska de ju blir 6x.... ? hur vet man om man ska räka hela talet som jag gjort eller separera talet som du gjorde sen deriverat?

Jag är inte säker på att jag tolkar dig rätt
Om $y = \frac{3 x^{2}}{2} s å b l i r y' = \frac{3 \cdot 2 x}{2} = 3 x$
Är vi överens där?

Henning skrev:
Jag är inte säker på att jag tolkar dig rätt
Om $y = \frac{3 x^{2}}{2} s å b l i r y' = \frac{3 \cdot 2 x}{2} = 3 x$
Är vi överens där?

alltså de är 3x²/2 som du säger 3x² blir väl 2*3x=6x ? hur vet man om man ska räkna ihop allt som jag gjorde precis eller om man ska faktorisera som du gjort

Glömmer du 2-an i nämnaren? Dvs du måste dividera med 2 och då blir termen totalt 3x

Henning skrev:
Glömmer du 2-an i nämnaren? Dvs du måste dividera med 2 och då blir termen totalt 3x

ok då förstår jag då ja vi 3x²+3x-6 hur forsätter jag nu?

Nu ska du bestämma nollställen för derivatan och det gör du genom att sätta den =0
Och lösa den 2-gradsekvation du får.
Vad får du för nollställen?

Henning skrev:
Nu ska du bestämma nollställen för derivatan och det gör du genom att sätta den =0
Och lösa den 2-gradsekvation du får.
Vad får du för nollställen?

jag får det till x=-0,5 $\pm$ $\sqrt{1, 75}$
hur fortsätter jag?

Jag tror du gjorde fel under rottecknet. Visa hur du räknade.

Laguna skrev:
Jag tror du gjorde fel under rottecknet. Visa hur du räknade.

Det ska vara -0,5² som sista term i kvadratkompletteringen.

Laguna skrev:
Det ska vara -0,5² som sista term i kvadratkompletteringen.

vad menar du? jag tog ju roten ur?

Roten ur kommer senare.

Visa hur du gjorde din kvadratkomplettering, i flera steg.

Laguna skrev:
Roten ur kommer senare.

Visa hur du gjorde din kvadratkomplettering, i flera steg.

kolla bilden högre upp har ju visat

Utveckla (x+0,5)² - 2 + 0,5² och se om du får x² + x - 2.

Laguna skrev:
Utveckla (x+0,5)² - 2 + 0,5² och se om du får x² + x - 2.

förstår inte vad du menar

(x+0,5)^2-2+0,5^2=0
(x+0,5)^2-1,75=0
(x+0,5)^2=1,75
${\sqrt{(x + 0, 5)}}^{2} = \sqrt{1, 75} x + 0, 5 = \sqrt{1, 75} x = - 0, 5 \sqrt{1, 75}$
vart gör jag fel?

Du har 2-gradsekvationen $x^{2} + x - 2 = 0$

Och kvadratkompletterar genom att bilda termen ${(x + 0, 5)}^{2}$
Härmed tillför du termen $0, 5^{2}$ och måste då minska med den termen i samma led.

Dvs ${(x + 0, 5)}^{2} - 2 - 0, 5^{2} = 0$

Där missade du. Nu kan du fortsätta att ta fram rötterna.

Henning skrev:
Du har 2-gradsekvationen $x^{2} + x - 2 = 0$

Och kvadratkompletterar genom att bilda termen ${(x + 0, 5)}^{2}$
Härmed tillför du termen $0, 5^{2}$ och måste då minska med den termen i samma led.

Dvs ${(x + 0, 5)}^{2} - 2 - 0, 5^{2} = 0$

Där missade du. Nu kan du fortsätta att ta fram rötterna.

vadå varför ska man minska? om det är + tecken i parantes ska man väl också skriva + tecken utanför parantes?

Ekvation betyder LIKA.
Dvs båda sidor är lika. Om du adderar ${0, 5}^{2} i n o m p a r e n t e s e n i v ä n s t e r l e d, V L, s å m å s t e d u a n t i n g e n a d d e r a l i k a m y c k e t i h ö g e r l e d, H L, e l l e r m i n s k a m e d m o t s v a r a n d e v ä r d e p å v ä n s t e r s i d a$

Alltså - för att behålla balansen måste du subtrahera värdet

Henning skrev:
Ekvation betyder LIKA.
Dvs båda sidor är lika. Om du adderar ${0, 5}^{2} i n o m p a r e n t e s e n i v ä n s t e r l e d, V L, s å m å s t e d u a n t i n g e n a d d e r a l i k a m y c k e t i h ö g e r l e d, H L, e l l e r m i n s k a m e d m o t s v a r a n d e v ä r d e p å v ä n s t e r s i d a$

Alltså - för att behålla balansen måste du subtrahera värdet

kolla, till exempel om vi har x^2-4 får vi (x-2)²-2²och om vi har x²+4 får vi (x+2)²-2²?

Prova att utveckla parentesen med kvadreringsregeln så ser du att det stämmer:

$(x+0.5)^2-2-0.5^2 = x^2+2\cdot x\cdot 0.5 + 0.5^2 - 2 - 0.5^2 = x^2+x-2$

När man bakar in $x^2$ och $x$ i parentesen, så bildas även extratermen $+0.5^2$ . Den måste man dra bort så man inte ändrar vänsterledets värde. Och oavsett vilket tecken du har inuti parentesen kommer extratermen bli positiv (se kvadreringsreglerna, det är $+b^2$ på båda).

Skaft skrev:
Prova att utveckla parentesen med kvadreringsregeln så ser du att det stämmer:

$(x+0.5)^2-2-0.5^2 = x^2+2\cdot x\cdot 0.5 + 0.5^2 - 2 - 0.5^2 = x^2+x-2$

När man bakar in $x^2$ och $x$ i parentesen, så bildas även extratermen $+0.5^2$ . Den måste man dra bort så man inte ändrar vänsterledets värde. Och oavsett vilket tecken du har inuti parentesen kommer extratermen bli positiv (se kvadreringsreglerna, det är $+b^2$ på båda).

jag förstår inte hur du menar? menar du om det är plus i parantes ska det vara minus utanför och om minus i parantes ska det vara plus utanför?

Nej, oavsett vilket tecken det är i parentesen så bildas en positiv extraterm. Den behöver dras bort. Därför är det alltid minus utanför. Så $x^2+4x$ kvadratkompletteras till $(x+2)^2-2^2$ , och $x^2-4x$ kvadratkompletteras till $(x-2)^2-2^2$ .

Prova gärna att utveckla parenteserna, och kontrollera att du får tillbaka $x^2+4x$ i första fallet och $x^2-4x$ i andra.

Skaft skrev:
Nej, oavsett vilket tecken det är i parentesen så bildas en positiv extraterm. Den behöver dras bort. Därför är det alltid minus utanför. Så $x^2+4x$ kvadratkompletteras till $(x+2)^2-2^2$ , och $x^2-4x$ kvadratkompletteras till $(x-2)^2-2^2$ .

Prova gärna att utveckla parenteserna, och kontrollera att du får tillbaka $x^2+4x$ i första fallet och $x^2-4x$ i andra.

Jaha då förstår jag men spelar de ens någon roll om de plus eller minus då -4^2=16 och +4^2=16?

Det spelar roll eftersom minustecknet inte kvadreras. $-2^2$ blir -4, det finns bara ett minustecken så det finns inget "minus minus blir plus" här. Om det stått $(-2)^2$ så skulle det bli 4, eftersom det betyder $-2\cdot -2$ . Då tar minustecknen ut varandra. Men $-2^2$ betyder $-2\cdot 2$ , och blir alltså -4.

Skaft skrev:
Det spelar roll eftersom minustecknet inte kvadreras. $-2^2$ blir -4, det finns bara ett minustecken så det finns inget "minus minus blir plus" här. Om det stått $(-2)^2$ så skulle det bli 4, eftersom det betyder $-2\cdot -2$ . Då tar minustecknen ut varandra. Men $-2^2$ betyder $-2\cdot 2$ , och blir alltså -4.

Ok har jag förstår rätt att om det är minus i parantes då blir det plus som du säger och om de inte är parantes så förblir de minus

Ja. Eftersom, i $(-2)^2$ är det två minustecken. I $-2^2$ är det bara ett.

Skaft skrev:
Ja. Eftersom, i $(-2)^2$ är det två minustecken. I $-2^2$ är det bara ett.

stämmer nollpunkterna?

Nej - för du utgår från ekvationen $x^{2} + x - 2 = 0$

Via kvadratkomplettering får du: ${(x + 0, 5)}^{2} - 2 - 0, 5^{2} = 0 \Rightarrow {(x + 0, 5)}^{2} - 2, 25 = 0 \Rightarrow {(x + 0, 5)}^{2} = 2, 25$

Rotutdragning ger: $(x + 0, 5) = \pm \sqrt{2, 25} \Rightarrow x = - 0, 5 \pm 1, 5$

Slutligen får du: $x_{1} = 1 o c h x_{2} = - 2$