Undersök extrempunkter

Lös ut x ur den nedersta ekvationen. Då får du ett uttryck som visar hur x beror på a.

Hur kan jag lösa ut x? Ska jag först dela med a? Hur blir det sen? Kvar har jag (1/x^2)=(1/a) 

Hur löser jag ut x?

$a\frac{1}{x^2}=1$

Multiplicera båda led med x².

$a=x^2$, vilket ger x = ... .

a=x^2 

x1= (roten ur (a) )

x2= (-roten ur (a))

Vad kan jag använde det här till? Förstår inte vad svaren innebär och hur jag kan utnyttja svaret för att dra en slutsats 

Du får läsa frågan igen. Vad frågar man efter? Vilken relevans har det som du räknat fram hittills? Vad behöver du göra härnnäst?

Man ska undersöka hur extrempunkterna beror på värdet a

Vad är en extrempunkt?

Antingen en Max, min eller terasspunkt 

Hur är det kopplat till derivatan?

Då derivatan är 0 får man antingen en Max,min eller terasspunkt

Vi fick att derivatan var noll om

x² = a.

Vi har lite olika fall.

Om a > 0 så får vi x = +/- $\sqrt{a}$. Ger detta max, min eller terrasspunkter?

Vad händer om a = 0 eller a < 0?

En kommentar - en terrasspunkt är inte en extrempunkt.

Yngve skrev:

En kommentar - en terrasspunkt är inte en extrempunkt.

👍

@Katarina149, läs gärna det här avsnittet.

Där finns väldigt mycket relaterad matnyttig information.

Fråga oss om allt du tycker känns otydligt/oklart.

PATENTERAMERA skrev:

Vi fick att derivatan var noll om

x² = a.

Vi har lite olika fall.

Om a > 0 så får vi x = +/- $\sqrt{a}$. Ger detta max, min eller terrasspunkter?

Vad händer om a = 0 eller a < 0?

om x= + roten ur a då är det en minipunkt, om x är - roten ur a då är det en maxpunkt . Om x=0 då är det en terasspunkt 

Om a är > 0 då är x ett positivt tal.. 

Om a> 0 då är x ej definierat 

om a=0 (borde det inte vara en terasspunkt då eller?) 

En sak i taget.

Vi har tagit reda på att funktionen $f(x)=ax+\frac{a^2}{x}$ har derivatan $f'(x)=a-\frac{a^2}{x^2}$.

Vi löser nu ekvationen $f'(x)=0$, dvs $a-\frac{a^2}{x^2}=0$.

Vi faktoriserar vänsterledet:

$a(1-\frac{a}{x^2})=0$

Nollproduktmetoden ger oss nu de enda två möjligheterna $a=0$ eller att $1-\frac{a}{x^2}=0$.

================

Vi börjar med att titta på vad det skulle innebära att $a=0$:

Om $a=0$ så är $f(x)=0\cdot x+\frac{0^2}{x}$, dvs $f(x)=0$, vilket innebär att $f(x)$ är konstant och alltså saknar extrempunkter.

=================

Den andra möjligheten är att $1-\frac{a}{x^2}=0$, dvs att $x=\pm\sqrt{a}$.

Om nu $a<0$ så saknar den ekvationen reella lösningar, vilket innebär att $f(x)$ saknar extrempunkter.

Om istället $a>0$ så har $f(x)$ både en min- och en maxpunkt.

Minpunkten ligger, precis som du skriver, vid $x=\sqrt{a}$ och maxpunkten ligger, precis som du skriver, vid $x=-\sqrt{a}$.

===============

Men det finns ingen terrasspunkt vid $x=0$.

För dig att fundera på: Vad händer vid $x=0$?

För en konstant funktion är väl formellt alla punkter extrempunkter. Funktionen antar ju sitt största värde i alla punkter.

Ja, det har du rätt i.

Jag tänker alltid att en (lokal) extrempunkt är en punkt i vilken funktionsvärdet är mer extremt än funktionsvärdet i alla närliggande punkter, men det stämmer alltså inte.

Det betyder då att om $a=0$ så har funktionen både min- och maxpunkter överallt.

Det här är ytterligare en icke-intuitiv sak liknande den om växande/avtagande funktioner.

Yngve skrev:

En sak i taget.

Vi har tagit reda på att funktionen $f(x)=ax+\frac{a^2}{x}$ har derivatan $f'(x)=a-\frac{a^2}{x^2}$.

Vi löser nu ekvationen $f'(x)=0$, dvs $a-\frac{a^2}{x^2}=0$.

Vi faktoriserar vänsterledet:

$a(1-\frac{a}{x^2})=0$

Nollproduktmetoden ger oss nu de enda två möjligheterna $a=0$ eller att $1-\frac{a}{x^2}=0$.

================

Vi börjar med att titta på vad det skulle innebära att $a=0$:

Om $a=0$ så är $f(x)=0\cdot x+\frac{0^2}{x}$, dvs $f(x)=0$, vilket innebär att $f(x)$ är konstant och alltså saknar extrempunkter.

=================

Den andra möjligheten är att $1-\frac{a}{x^2}=0$, dvs att $x=\pm\sqrt{a}$.

Om nu $a<0$ så saknar den ekvationen reella lösningar, vilket innebär att $f(x)$ saknar extrempunkter.

Om istället $a>0$ så har $f(x)$ både en min- och en maxpunkt.

Minpunkten ligger, precis som du skriver, vid $x=\sqrt{a}$ och maxpunkten ligger, precis som du skriver, vid $x=-\sqrt{a}$.

===============

Men det finns ingen terrasspunkt vid $x=0$.

För dig att fundera på: Vad händer vid $x=0$?

Det känns som att förklaringen går lite för fort. Framtills hit hänger jag med 

Till att börja med, du tappade bort ett a i din faktorisering.

Derivatan blir så här:

===========

Nu försöker jag beskriva tankegången steg för steg, en liten bit i taget.

Jag lägger även till en nödvändig begränsning av definitionsmängden i början.

Första delen: Vilket/vilka av följande steg är du inte med på?

1. Funktionen är inte definierad för $x=0$, så värdet $0$ ingår inte i funktionens definitionsmängd.
2. Vi vill hitta funktionens stationära punkter
3. Vi löser därför ekvationen $f'(x)=0$
4. Den ekvationen lyder $a\cdot (1-a\cdot x^{-2})$
5. Enligt nollproduktmetoden har ekvationen lösningarna $a=0$ och $1-a\cdot x^{-2}=0$
6. Lösningen $a=0$ innebär att $f(x)=0\cdot x+\frac{0^2}{x}$, dvs $f(x)=0$, dvs $f(x)$ är en konstant funktion vars graf är en horisontell linje.
7. Lösningen $1-a\cdot x^{-2}=0$ innebär att $x=\pm\sqrt{a}$

Punkt 1 och 6 hängde jag runt riktigt med. 
—-

Så långt har jag lyckats komma 

Katarina149 skrev:

Punkt 1 och 6 hängde jag runt riktigt med. 

Jag förstår inte, vad menar du?

Yngve skrev:

Till att börja med, du tappade bort ett a i din faktorisering.

Derivatan blir så här:

===========

Nu försöker jag beskriva tankegången steg för steg, en liten bit i taget.

Jag lägger även till en nödvändig begränsning av definitionsmängden i början.

Första delen: Vilket/vilka av följande steg är du inte med på?

1. Funktionen är inte definierad för $x=0$, så värdet $0$ ingår inte i funktionens definitionsmängd.
2. Vi vill hitta funktionens stationära punkter
3. Vi löser därför ekvationen $f'(x)=0$
4. Den ekvationen lyder $a\cdot (1-a\cdot x^{-2})$
5. Enligt nollproduktmetoden har ekvationen lösningarna $a=0$ och $1-a\cdot x^{-2}=0$
6. Lösningen $a=0$ innebär att $f(x)=0\cdot x+\frac{0^2}{x}$, dvs $f(x)=0$, dvs $f(x)$ är en konstant funktion vars graf är en horisontell linje.
7. Lösningen $1-a\cdot x^{-2}=0$ innebär att $x=\pm\sqrt{a}$

Din förklaring i steg 1 & 6 förstod jag inte

Punkt 1: Vad händer med f(x) då x = 0?

Punkt 6: Funktionsuttrycket är $f(x)=ax+\frac{a^2}{x}$.

Om nu $a=0$ så blir funktionsuttrycket $f(x)=0\cdot x+\frac{0^2}{x}$, dvs $f(x)=0+\frac{0}{x}$, dvs $f(x)=0$.

En funktion som har samma värde överallt är en konstant funktion.

Grafen till en konstant funktion är en horisontell linje.

Katarina149 skrev:

Punkt 1 och 6 hängde jag runt riktigt med. 
—-

Så långt har jag lyckats komma 

Okej. Så långt har jag lyckats komma 

Innan vi går vidare - förstår du punkt 1 och punkt 6 nu?

japp jag har förstått både punkt 1 och 6

OK, förstår du resten då?

OK bra.

Om du nu läser detta svar igen, är det då någonstans i det du fastnar?

(Bortse från det jag skrev, att funktionen saknar extrempunkter då a = 0)

Yngve skrev:

OK, förstår du resten då?

Jag tror att jag har förstått det