Underrum

Du kanske gör rätt, men jag förstår inte din notation. Vad är @, vad är **, vad är s_?

Ja, när man tänker på det så är det lite klurigt. "Linjära rum" och "vektorrum" är synonymer men det är svårt i 8a att se vad som är vektorerna i rummet. Det kanske hjälper att"tänka bort"vektorer. Gå direkt på definitionen av ett linjärt rum. Addera 2 polynom (t.ex. a1*t² + a2*t²) och se om summan fortfarande ligger i samma rum. Sen måste man så klart kolla de andra kriterierna också.

Nu när jag funderar så undrar jag om det inte är en luddig fråga. Man måste väl ange vilken operation som ger det linjära rummet? Ska man anta att man menar polynomaddition?

I 8a är vektorerna 1-dimensionella. De har bara 1 koordinat nämligen a.

Laguna skrev:

Du kanske gör rätt, men jag förstår inte din notation. Vad är @, vad är **, vad är s_?

"@" är bara en skalär, genomför med "c" i bild nummer 2 i mitt inlägg, jag ville göra den tydligt åtskillig från resterande konstanter.

"**" multiplikationstecken, ville göra det tydligt att det står "p(t)=s_(1)**t^(2)**", det vill säga, "en konstant" gånger "vektorn^2" (i alla fall som jag tolkade det), vad tror du nu?

Peter skrev:

Ja, när man tänker på det så är det lite klurigt. "Linjära rum" och "vektorrum" är synonymer men det är svårt i 8a att se vad som är vektorerna i rummet. Det kanske hjälper att"tänka bort"vektorer. Gå direkt på definitionen av ett linjärt rum. Addera 2 polynom (t.ex. a1*t² + a2*t²) och se om summan fortfarande ligger i samma rum. Sen måste man så klart kolla de andra kriterierna också.

Nu när jag funderar så undrar jag om det inte är en luddig fråga. Man måste väl ange vilken operation som ger det linjära rummet? Ska man anta att man menar polynomaddition?

I 8a är vektorerna 1-dimensionella. De har bara 1 koordinat nämligen a.

Hm.. ja, så, är alltså t^2 lika med nollvektor? Den ska ju ingå i p(t) antar jag.. Så alltså motsvaras a) av nollvektorn?

Hej!

Uppgift 8a. 

Varje polynom motsvaras av ett reellt tal ($a$). 

Mängden i fråga är

    $M = \{p \in P_n\,:\, \exists\,a\in\mathbb{R}\ ,p(t) = at^2\}.$

• Om $n\geq 2$ så gäller det att nollpolynomet $0(t)$ ligger i $M$ eftersom $0$ är ett reellt tal och $0(t) = 0t^2.$ Men om $n<2$ så är $M$ en tom mängd. (Varför?)
• Om $p$ och $q$ är två polynom i $M$ och $\alpha$ och $\beta$ är reella tal så är polynomet

    $(\alpha p + \beta q)(t) = \alpha a_pt^2+\beta a_q t^2 = (\alpha a_p+\beta a_q)t^2$

också ett polynom i $M$ eftersom $\alpha a_p+\beta a_q$ är ett reellt tal då $a_p$ och $a_q$ är reella tal.

blygummi skrev:

Peter skrev:

Ja, när man tänker på det så är det lite klurigt. "Linjära rum" och "vektorrum" är synonymer men det är svårt i 8a att se vad som är vektorerna i rummet. Det kanske hjälper att"tänka bort"vektorer. Gå direkt på definitionen av ett linjärt rum. Addera 2 polynom (t.ex. a1*t² + a2*t²) och se om summan fortfarande ligger i samma rum. Sen måste man så klart kolla de andra kriterierna också.

Nu när jag funderar så undrar jag om det inte är en luddig fråga. Man måste väl ange vilken operation som ger det linjära rummet? Ska man anta att man menar polynomaddition?

I 8a är vektorerna 1-dimensionella. De har bara 1 koordinat nämligen a.

Hm.. ja, så, är alltså t^2 lika med nollvektor? Den ska ju ingå i p(t) antar jag.. Så alltså motsvaras a) av nollvektorn?

Nej, 0*t² är nollvektorn, alltså helt enkelt 0. t²+t² = 2t², så det är inte nollvektorn.

Vad menar du med "motsvaras a) av nollvektorn"?

blygummi skrev:

Laguna skrev:

Du kanske gör rätt, men jag förstår inte din notation. Vad är @, vad är **, vad är s_?

"@" är bara en skalär, genomför med "c" i bild nummer 2 i mitt inlägg, jag ville göra den tydligt åtskillig från resterande konstanter.

"**" multiplikationstecken, ville göra det tydligt att det står "p(t)=s_(1)**t^(2)**", det vill säga, "en konstant" gånger "vektorn^2" (i alla fall som jag tolkade det), vad tror du nu?

Jag skrev om lite. Din skalär @ fick heta s₂. Jag har använt nedsänkt och upphöjt som finns här uppe i verktygsraden, i alla fall om man är på dator (men inte på mobil). I många fall skulle man inte behöva sätta ut något multiplikationstecken alls, men det är ju inte fel. Det är inte fel heller med parenteser runt exponenter, men jag tog bort dem för att de är onödiga. Om jag inte hade tillgång till upphöjt och nedsänkt skulle jag skriva t.ex. t^2 och s1 och p1. s_1 eller p_1 duger också bra och då ansluter man till LaTeX-notationen, fast det hela inte är LaTeX. t₁ är ett lite olyckligt namn på skalären, för man kan tro att den har något att göra med p:s argument t. Jag skulle kalla den t.ex. s₂ i stället, eller välja a och b, och om bokstäverna är olika behöver de inga index. Ja, villkoren är ju uppfyllda, så du har gjort rätt.

p(t) = at²

1) p(t)=0*t²=0

2) p(t)=s₁*t², 

s₂*p(t)=(s₂s₁)*t²

3) p₁(t)=t₁*t², p₂(t)=s₁*t²

p₁(t)+p₂(t)=t₁*t²+s₁*t²=(t₁+s₁)*t²

Albiki skrev:

Hej!

Uppgift 8a. 

Varje polynom motsvaras av ett reellt tal ($a$). 

Mängden i fråga är

    $M = \{p \in P_n\,:\, \exists\,a\in\mathbb{R}\ ,p(t) = at^2\}.$

• Om $n\geq 2$ så gäller det att nollpolynomet $0(t)$ ligger i $M$ eftersom $0$ är ett reellt tal och $0(t) = 0t^2.$ Men om $n<2$ så är $M$ en tom mängd. (Varför?)
• Om $p$ och $q$ är två polynom i $M$ och $\alpha$ och $\beta$ är reella tal så är polynomet

    $(\alpha p + \beta q)(t) = \alpha a_pt^2+\beta a_q t^2 = (\alpha a_p+\beta a_q)t^2$

också ett polynom i $M$ eftersom $\alpha a_p+\beta a_q$ är ett reellt tal då $a_p$ och $a_q$ är reella tal.

Oj, tack för frågan.

Mitt försök: Det står ju i uppgiften att $"polynom p\left(t\right) av grad \le n"$, graden av t är 2,  $p\left(t\right)$ var definierad för $grad\le n$. Om $n<grad$ gäller längre ej villkoret. Alla $P_n$ bör erhålla är nollpolynomet, det blir det enda element som är kvar i $P_n , n<2$. 

Kommentar: Jag tror att jag är ute i rätt riktning men jag har en stark känsla av att svaret inte är fullkomligt, eller delvis bristande. Tänker jag rätt, Albiki?