Underrum (4)

Hej,

Nej du har tänkt fel. Du har låtit talet $(a+b)$ vara indata till polynomfunktionen $P$, när det ska vara koefficienter som multipliceras på $P.$

1. Du ska visa att noll-polynomet finns i mängden. 
2. Du ska visa att om $p$ och $q$ är polynom i mängden så är polynomet $p+q$ också ett element i mängden.
3. Du ska visa att om $p$ är ett polynom i mängden och $\lambda$ är ett tal så är polynomet $\lambda p$ också ett element i mängden.

Har jag ens gjort rätt?

bump

Jag tycker det ser rätt ut. Har du visat 3?

Nej! Har inte visat 3:an, men vad konstaterar vi i 2:an? 

Om du bryter ut minuset så kan vi se att du började med ett minus på x, och fick fram samma polynom med minus framför istället. Så p+q tillhör mängden.

Hej Soderstrom,

Nej det är inte rätt.

1. Nollpolynomet får du inte genom att multiplicera ett godtyckligt polynom $P$ med talet 0.

Nollpolynomet är det polynom $O(x)$ som ger 0 oavsett vad $x$ är. Detta polynom är ett element i mängden eftersom $O(-x) = 0$ och $-O(x) = -0 = 0$ varför $O(-x) = -O(x).$ 

2. Din mängd är inte lika med $\mathbb{P}_2$ utan snarare en delmängd ($M$) till $\mathbb{P}_2.$ Du väljer två polynomfunktioner $P$ och $Q$ från denna delmängd och studerar polynomfunktionen $P+Q$, som ju är en polynomfunktion i $\mathbb{P}_2$ eller hur? Du är intresserad av att undersöka talet $(P+Q)(-x)$ och se om det är lika med talet $-(P+Q)(x).$

    $(P+Q)(-x) = P(-x)+Q(-x) = -P(x)-Q(x) = -(P(x)+Q(x)) = -(P+Q)(x).$

Detta visar att om $P\ ,Q \in M$ så följer det att $P+Q \in M.$

3. Låt $P\in M$ och välj ett godtyckligt $\lambda \in \mathbb{R}.$ Då är $\lambda P$ en polynomfunktion i $\mathbb{P}_2$, eller hur? Frågan är om $\lambda P$ har den önskvärda egenskapen att talet $(\lambda P)(-x) = -(\lambda P)(x)$?