Underrum (3)

Jag kan bara se att nollmatrisen och identitetsmatrisen ligger i mängden.

Är det skillnad på om det där är en mängd eller en delmängd? För i uppgiften står det: "

Vilka av följande delmängd är underrum av motsvarande vektorrum?".

Hej Soderstrom,

Du vill veta om $A$ och $B$ är $2\times 2$-matriser sådana att

    $A^t=A^2$ och $B^t=B^2$

medför att $A+B$ är en $2\times 2$-matris sådan att

    $(A+B)^t = (A+B)^2.$

Du vet att $(A+B)^t=A^t+B^t$ som i sin tur är lika med $A^2+B^2.$ Sedan är

    $(A+B)^2 = A^2+B^2+AB+BA,$

så du måste kräva av $A$ och $B$ att de är antikommutativa det vill säga $AB+BA=0$ för att få chans till underrum.

Detta indikerar att din mängd inte är ett underrum, men att den mindre delmängden av antikommutativa matriser sådana att $A^t=A^2$ skulle kunna vara ett underrum till $M_{2\times 2}(\mathbb{R}).$

Tack Albiki. I uppgiften stod det: Vilka av följande delmängd är underrum av motsvarande vektorrum?

Då räcker med att en axiom uppfyller kravet? Så den här delmängden är ett underrum?

Soderstrom skrev:

Tack Albiki. I uppgiften stod det: Vilka av följande delmängd är underrum av motsvarande vektorrum?

Då räcker med att en axiom uppfyller kravet? Så den här delmängden är ett underrum?

Nej, den aktuella delmängden är inte ett underrum eftersom det stod inte i uppgiften att matriserna är antikommutativa. Beräkningarna indikerade att om man vill få ett underrum så måste man kräva att matriserna är antikommutativa. 

Det du behöver visa för underrum är två saker:

• Om matriserna A och B ligger i mängden så ligger matrisen A+B också i mängden. (Beräkningarna visade att detta inte är uppfyllt.)
• Om matrisen A ligger i mängden och $\lambda$ är ett tal så ligger matrisen $\lambda A$ också i mängden. (Detta är inte visat ännu.)

Men i och med att första punkten inte uppfyller villkoret så kan man stanna där och säga att delmängden inte är ett underrum? Eller måste man visa alla 3 punkterna varje gång?

Du behöver inte visa att nollmatrisen ligger i mängden, eftersom det är en konsekvens av att $\lambda A$ ligger i mängden; välj bara $\lambda=0$ så får du nollmatrisen. Det är alltså bara två saker som behöver undersökas; eller egentligen är det bara en sak som behöver undersökas nämligen om linjärkombinationen $\lambda A +\mu B$ ligger i mängden.

Du vet att $\displaystyle (A+B)^t=A^t+B^t$ som i sin tur är lika $\displaystyle A^2+B^2$. 

Kan du förklara hur  $A^2+B^2= A^t+B^t$?

Soderstrom skrev:

Du vet att $\displaystyle (A+B)^t=A^t+B^t$ som i sin tur är lika $\displaystyle A^2+B^2$. 

Kan du förklara hur  $A^2+B^2= A^t+B^t$?

Du väljer ju A och B från mängden. Då är $A^t=A^2$ och $B^t=B^2.$

Albiki skrev:

Du behöver inte visa att nollmatrisen ligger i mängden, eftersom det är en konsekvens av att $\lambda A$ ligger i mängden; välj bara $\lambda=0$ så får du nollmatrisen. Det är alltså bara två saker som behöver undersökas; eller egentligen är det bara en sak som behöver undersökas nämligen om linjärkombinationen $\lambda A +\mu B$ ligger i mängden.

Men vi kom fram till att mängden inte var sluten under addition. Måste jag ändå visa om mängden är sluten/ inte sluten i andra villkor? 

bump

Om du har visat att ett villkor inte är uppfyllt så borde det räcka för att svara på frågan. Beroende på vad frågan egentligen var iofs.

Soderstrom skrev:

Albiki skrev:

Du behöver inte visa att nollmatrisen ligger i mängden, eftersom det är en konsekvens av att $\lambda A$ ligger i mängden; välj bara $\lambda=0$ så får du nollmatrisen. Det är alltså bara två saker som behöver undersökas; eller egentligen är det bara en sak som behöver undersökas nämligen om linjärkombinationen $\lambda A +\mu B$ ligger i mängden.

Men vi kom fram till att mängden inte var sluten under addition. Måste jag ändå visa om mängden är sluten/ inte sluten i andra villkor? 

Nej, du behöver inte undersöka några ytterligare egenskaper.