underrum

Det där skrivsättet gör mig också osäker... fetstilad e med streck under multiplicerat med en kolonnvektor...

Antagligen är U ett underrrum, och de vill att vi tar spannet av de fyra vektorerna som står där. 

Frågam har två delar: 1) ta reda på U:s dimension 2) ta reda på om u är i U. 

1) kolla linjärt oberoende, lägg de i en matris och reducera.

2) lös ekvationen Ax=u, där A är en matris som har Us vektorer som kolonnvektorer och u är den efterfrågade vektorn.

Qetsiyah skrev:

Det där skrivsättet gör mig också osäker... fetstilad e med streck under multiplicerat med en kolonnvektor...

Antagligen är U ett underrrum, och de vill att vi tar spannet av de fyra vektorerna som står där. 

Frågam har två delar: 1) ta reda på U:s dimension 2) ta reda på om u är i U. 

1) kolla linjärt oberoende, lägg de i en matris och reducera.

2) lös ekvationen Ax=u, där A är en matris som har Us vektorer som kolonnvektorer och u är den efterfrågade vektorn.

men vad får jag fram när jag löst ekvationen? när jag löst ekvationen får jag väl en parameterlösning. Hur vet jag att u ligger i U då??

Om det finns en lösning så ligger u i U. Om lösning saknas ligger u inte i U.

Qetsiyah skrev:

Det där skrivsättet gör mig också osäker... fetstilad e med streck under multiplicerat med en kolonnvektor...

Det är ett skrivsätt som bland annat används av studenter från SU samt teknologer från Linköping. Håller med om att det är lite förvirrande.

Men tanken är att du ska tolka det som att man kopplar på en bas genom att multiplicera radmatrisen av basvektorer $\underline{\mathbf{e}}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4)$ med en kolonnvektor som består av koordinater eller om man så vill, vektorns komponenter i basen.

$\underline{\mathbf{e}}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+x_3\mathbf{e}_3+x_4\mathbf{e}_4$

Det är alltså ett sätt att tydliggöra skillnaden mellan en vektors komponenter och vektorn själv. Det visar också i vilken bas man uttrycker vektorn.

Hej,

• Mängden $U$ består av alla linjärkombinationer av de fyra vektorerna $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$.
• Om $u\in U$ så finns det fyra tal $x$, $y$, $z$ och $w$ sådana att vektorn $u$ kan skrivas som summan $u=xv_1+yv_2+zv_3+wv_4.$ Du vill finna dessa fyra tal, vilket är samma sak som att lösa följande linjära ekvationssystem.

$\begin{pmatrix}-2\\3\\1\\6\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}1&0&1&2\\2&1&0&1\\1&1&1&1\\1&2&0&-1\end{pmatrix}}_{=A}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}$

Om matrisen $A$ är inverterbar så finns det endast en uppsättning av dessa fyra tal och de ges av matrisprodukten $A^{-1}u.$

• Matrisen är inverterbar precis då determinanten $\det A \neq 0.$
• Matrisen $A$ är inverterbar precis då de fyra vektorerna $v_1$,$v_2$,$v_3$,$v_4$ bildar en bas för mängden $U$; de fyra vektorerna är då linjärt oberoende och dimensionen $\text{dim } U = 4.$

Eftersom $\dim(U)=3$ kommer $\det(A)=0$.

En bas för $U$ utgörs av de första tre kolonnerna, $[v_1,v_2,v_3]$.

Vektorn $\mathbf{u}$ kan uttryckas som summan $3v_2-2v_3$ och måste därför tillhöra $U$

Jroth: jaha då gissade jag rätt i alla fall, men hur ska jag veta att de vill ta spannet av de fyra vektorerna och inte bara skapa en mängd med fyra vektorer?

Man ska ju ha {} för mängder, så förmedlar hakparanteser spann? 

Ja, i det här fallet kan man godvilligt tolka uppgiftsskaparen så. Men personligen tycker jag att man åtminstone kan kosta på sig att skriva $\mathrm{Span}\{v1,\dots,v_n \}$ för att visa att man tänker sig ett linjärt hölje.

Det är inte allmänt vedertaget att hakparenteser runt en uppräkning vektorer skulle betyda spannet av dem, tvärtom brukar det betyda att man sätter ihop vektorerna som en matris med varje vektor som kolonn.

Jroth skrev:

tvärtom brukar det betyda att man sätter ihop vektorerna som en matris med varje vektor som kolonn.

Ja exakt, men pga kommatecknerna går det inte att tolka så heller, för man brukar ju inte ha komma när man sätter ihop kolonnvektorer till matriser. 

Sen så tycker jag inte att den där \mathbb på U passar sig heller, den vill jag gärna reservera till R, C, Z och F.

$\mathbb{U}$