Underrum (Matematik/Universitet)

Du skriver lite konstigt...

Om det rummet ska vara ett underrum så ska det vara 0) vara delmängd till R2, 1) slutet under addition, 2) slutet under multiplikation med skalär. Det första villkoret vet vi uppfylls.

1) Vektorerna (1,1) och (4,16) tillhör U, men (1,1)+(4,16)=(5,17) vilket inte tillhör U. U är inte slutet under addition. Egentligen räcker detta för att konstatera att U inte är ett vektorrum till R2, men vi fortsätter till kriterie två.

2) Ta återigen (1,1) som tillhör U och ta skalären 5. 5*(1,1)=(5,5) tillhör inte U, så den failar på två kriterier!

U är inte ett underrum.

Tack! Men jag skrev ju ungefär som du skrev? :/

Dina pilar, är det implikationspilar?

Om det är de som är konstig då förstår jag!

Okej, om det är implikationspilar så makear det mer sense, men det är fortfarande lite konstigt.

Ditt andra test:

konstigt val av bokstav (y1).
Du vill alltså visa att summan av (1,1) och en annan vektor (a,a) inte tillhör U. Det är bra att uttrycka det allmänt, men (a,a) tillhör inte ens U generellt (endast då a=1), så det testet säger ingenting. Om vi vill testa om en mängd är sluten under en operation så behöver vi självfallet välja två element ur den mängden att utföra operationen på, det har du inte gjort.
Du verkar vilja använda motsägelsebevis, det är ok men klumpigt, det behövs inte.

Om jag skulle tolka din intention så skulle jag skriva: om U var ett underrum skulle (a,a^2)+(b,b^2)=(a+b,a^2+b^2) alltså måste (a+b)^2=a^2+b^2 för alla reella a,b. Vi har fått en motsägelse och U är inte ett underrum.

Liknande, på ditt andra test bör du säga "lambda=lamba^2" gäller inte för generella reella tal lambda. Bara "funkar inte" är inte tillräckligt specifikt.

Okej! Vad borde jag använt istället för y1 då? Jag vill ju visa additionen generellt.

Qetsiyah gjorde en fin uppställning.

Vad menar du med addition generellt? Tag två vektorer som ligger i U, (1, 1) samt (0, 0), adderas dessa så får du vektorn (1, 1) som vi vet ligger i U. Men för att U ska vara ett underrum ska addition mellan vektorer i U ge en vektor i U för alla vektorer i U, vilket inte gäller som Qetsiyah visade. Vanligen för att visa när något inte gäller räcker det med ett exempel men när man ska visa att något gäller då måste man visa det generellt vilket är jobbigt (men kul).

Ok! Så man ska alltid välja två vektorer som måste finnas i rummet, annars blir lösningen "fel"? I det här fallet så finns bara (1,1) och (0,0), om jag har förstått er rätt!?

Nej, (2,4) (3,9) (4,16) (och många fler) är också element i U, glöm inte det.

OM U är ett vektorrum så måste addition av två element i U (vilka som helst) ge ett till element i U.

Det räcker med ett enda exempel på då det inte gäller.

Ditt test för detta kriterie involverar addition med en vektor som inte är element i U, därför makes no sense.

Vektorerna som adderas måste finnas i rummet. I det här fallet finns fler vektorer i rummet än (1, 1) och (0, 0), exempelvis finns (4, 2).

Addera vektorerna (1, 1) och (0, 0) då fås (1, 1) igen som finns i rummet. Lägg märke till att vi började med (1, 1) och får (1, 1) efter addition. Det betyder att (0, 0) är ett identitetselement, vad som helst adderat med (0, 0) ger samma vad som helst, j.m.f med identitetselementet vid multiplikation.

Om vi istället väljer att addera vektorerna (1, 1) och ( 4, 2) får vi (5, 3). Vektorn (5, 3) ligger inte i rummet eftersom 3^2 inte är 5.

Ok! Jag trodde att man använda sig av lösningarna till $x=x^2$ ... Men jag tror att jag fattar.

Aha. Komponenterna av vektorerna i rummet ska uppfylla $x_{1} = x_{2}^{2}$ , där $x_{1}$ är den övre komponenten och $x_{2}$ den undre komponenten. En vektor med komponenterna

$[\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 25 \\ 5 \end{matrix}]$

uppfyller villkoret eftersom $x_{1} = x_{2}^{2}, 25 = 5^{2}$ .

Hej Soderstrom,

Rad 1: Här visar du att mängden $U$ är icke-tom, vilket är trevligt att veta.
Rad 2: Här visar du ingenting.
Rad 3: Här visar du ingenting.
Rad 4: Slutsatsen är inte befogad, eftersom du bara har lyckats med att visa att $U$ är en icke-tom mängd.

För att dra slutsatsen att $U$ inte är ett underrum till $\mathbb{R}^2$ kan du utföra ett motsägelsebevis.

Anta att $U$ faktiskt är ett underrum till $\mathbb{R}^2$ och visa att det leder till en motsägelse.

Du har visat att $U$ innehåller vektorn $v=(1,1)^{t}$ . Eftersom $U$ är ett underrum så ska vektorn $2v$ också ligga i $U$ , vilket medför att $2=2^2 \iff 1=2.$ Detta är en motsägelse.