Undergrupper

Hej

jag har en uppgift som jag behöver lite hjälp med att lösa då jag har svårt att förstå hur man får fram vilka undergrupperna är.

Det finns fem undergrupper av ordning 2 och tre undergrupper av ordning 4 i $D_{4}$ , vilka är dessa?

De fem undergrupperna av ordning 2 ska vara $(ε, ρ_{3}), (ε, μ_{1}), (ε, μ_{2}), (ε, μ_{3}), (ε, μ_{4})$ men jag har svårt att förstå hur man ska komma fram till det. Att vi har det neutrala elementet förstår jag men varför just $ρ_{3}$ ? och inte dom andra $ρ$

Vilken definition av $D_4$ använder du dig av? Är det den här?

Nej, det kan inte vara Kleins fyrgrupp eftersom den bara har fyra element och därmed bara en delgrupp av ordning fyra (hela gruppen själv). Det måste vara dihedrala gruppen av ordning åtta, fyra speglingar, tre rotationer och neutrala elementet.

En av rotationerna är sin egen invers och genererar en delgrupp av ordning två. De andra två rotationerna genererar var och en för sig delgruppen med alla rotationer och neutrala elementet, det är en av delgrupperna av ordning fyra.

De andra delgrupperna av ordning fyra genereras av rotationen som är sin egen invers och en av speglingarna, man får då med en av de andra speglingarna också. Alternativt kan den genereras av de två speglingarna. De här delgrupperna är isomorfa med Kleins fyrgrupp.

Om man tar ett annat par av speglingar än två som genererar en fyrgrupp så är deras produkt en rotation som inte är sin egen invers och de genererar hela gruppen.

jag förstår inte hur man vet att man endast ska ha med $(ε, ρ_{3})$ och inte någon annan rotation? och sedan får vi fyra olika speglingar?

Är din $D_{4}$ den dihedrala gruppen av ordning 8, som dioid gissade? Det är meningslöst att flrsöka hjälpa dig om vi inte vet vad det är du pratar om.

Jag gissade inte, jag visade att alla andra tolkningar är orimliga. 😁

Om du har en annan rotation r i en delgrupp så måste även r*r vara i delgruppen (eftersom en delgrupp ska vara sluten under gruppoperationen) så om r*r inte är neutrala elementet kommer delgruppen att innehålla fler element och den kan inte ha ordning 2.

Speglingarna är sin egen invers så man får neutrala elementet om man tar samma spegling två gånger.

Jag vet inte om jag tolkar din fråga rätt men om det du undrar över är varför säg $(\epsilon, \rho_2)$ inte är med är i alla fall för att $(\epsilon, \rho_2)$ inte genererar en grupp av ordning 2. Om man tänker på $D_4$ som symmetrierna i en kvadrat är den enda rotationen som genererar en delgrupp av ordning 2 rotationen med 180 grader. Roterar man kvadraten med 180 grader får man en ny konfiguration av kvadraten, men roterar man med 180 grader igen är man tillbaks där man startade (det blir samma sak som att inte ha gjort något alls, dvs identiteten). Detta innebär att rotationen med 180 grader, som verkar kallas $\rho_3$ här, genererar en delgrupp av ordning 2.

Använder man en annan rotation, säg 270 grader, så kommer inte samma sak att hända. Roterar man en gång med 270 grader får man en ny konfiguration. Roterar man två gånger med 270 grader hamnar man i samma konfiguration som om man hade roterat 180 grader en gång. Roterar man tre gånger med 270 grader blir det som att ha roterat med 90 grader en gång. Roterar man till slut fyra gånger med 270 grader hamnar man i samma konfiguration som man började med. Vi ser att upprepad rotation med 270 grader tar oss till alla fyra möjliga rotationstillstånd och blir alltså en delgrupp av ordning 4, den kommer innehålla alla rotationer och identitetselementet.

Hoppas att detta kanske förtydligade lite för dig.

Svara

Visa senaste svar