Undergrupp

Hej, jag sitter med en fråga som jag delvis förstår men skulle behöva lite förklaring kring några delar.

Uppgiften är

Visa att Fix(f):= $\{g \in G : f (g) = g\}$ är en undergrupp av G.

I svaret ser jag att man bevisar det i tre steg, dels sätter man att f(1)=1 så $1 \in F i x (f) \neq \emptyset$

I nästa steg sätter man att om $x, y \in F i x (f)$ så är f(x)=x och f(y)=y men hur får man det av att $x, y \in F i x (f)$ ?

och sedan att detta ska ge $f (x y^{- 1}) = f (x) (f (y))^{- 1} = x y^{- 1}$ så $x y^{- 1} \in F i x (f)$

Jag är med på tredje steget men inte det andra. Sedan förstår jag inte varför man inte måste ha med identitetselementet eller inversen?

Hej! om $x, y \in F i x (f) s å ä r b å d e x o c h y h e l t a l$ , om de inte vore heltal t.ex $1.5 \notin f i x (f) s å f (1.5) \neq 1.5$

Om du använder det sista steget med x=y så får du ut inverse.

Eftersom $f (1) = 1, m e d d e t t r e d j e s t e g e t f (x * 1) = f (x) (f (1)) = f (x)$ så följer identitetselementet

Jag antar här att $f$ är en grupphomomorfi.

Om $x, y \in F i x (f)$ så följer det direkt ur definitionen för $F i x (f)$ att $f (x) = x$ och $f (y) = y$ .

Ett sätt att verifiera att någon delmängd $H \subseteq G$ även är en delgrupp är att kolla tre följande villkor:

1) Identitetselementet är med i $H$

2) $H$ är sluten under gruppoperationen.

3) $H$ är sluten under invertering. D.v.s. om $x \in H$ så måste även $x^{- 1} \in H$ .

En annan metod använder sig av att man istället kan kontrollera två andra villkor, som visar sig vara ekvivalenta med de tre ovan. De två saker man behöver kolla då är:

1) $H \neq \emptyset$ , d.v.s. $H$ är icke-tom.

2) $x, y \in H \Rightarrow xy^{-1} \in H$ .

De har väl använt den andra metoden i svaret, men det går självfallet lika bra att verifiera med den första metoden.

Bevis för att metod 2 faktiskt verifierar huruvida $H$ är en delgrupp: https://proofwiki.org/wiki/One-Step_Subgroup_Test

Svara