Under en föreläsning tolkade läraren en Riemannsumma så vi fick en integral, hur?

Riemannsummor används för att definiera Riemannintegral (=det integralbegrepp som används i gymnasiet och de elementära kurserna på univ.) Jag har inte tillgång till skriften med en s 12 som du hänvisar till. Försöker här något förenklat beskriva vad det handlar om: Låt f vara kontinuerlig och reellvärd på slutna intervallet S= a,b (min dator har inte klammer). Låt D_1, D₂  ,,,,D_p vara en följd av av delintervall i S med längden l(D_p) sådana att sup(l(D_p)) går mot 0 när p går mot oändligheten och att unionen av alla D_p. = S. Låt vidare x_k  tillhöra intervallet D_k . Definiera integralen av f på S med I(f) = gränsvärdet(Summa(f(x_k )*l(D_p )) när p går mot oändligheten. Summorna kallas Riemannsummor. Darboux sats säger att om f är kontinuerlig så konvergerar Riemannsummorna mot ett reellt tal. Integralen definieras alltså  som detta tal.

I exemplet är f=integranden t h. Med 2<=x<=3 är den är på behörigt avstånd från farligheter, alltså f kont. Summan t v är av typ som ovan beskrivits.

Hej,

Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ approximeras med Riemannsumma genom att dela in integrationsområdet $[a,b]$ i $n+1$ stycken lika stora delintervall $[t_k, t_{k+1}]$  där

    $\displaystyle t_k = a+k\cdot \frac{b-a}{n}\ , \quad k=0,1,2,\cdots,n$.

• Integralen delas upp i $n+1$ stycken integraler över delintervall.

        $\displaystyle\int_{a}^{b} = \sum_{k=0}^{n}\int_{t_k}^{t_{k+1}}.$

• Över varje delintervall approximeras integranden med en konstant funktion,

        $f(x) \approx f(t_k) \ , \quad x\in[t_k,t_{k+1}]$

vilket leder till att Integralen approximeras med en summa

        $\displaystyle\int_{a}^{b}f\left(x\right)\,dx \approx \sum_{k=0}^{n}\int_{t_k}^{t_{k+1}}f\left(t_k\right)\,dx = \sum_{k=0}^{n} f\left(t_k\right) \cdot \left(t_{k+1}-t_{k}\right).$

• Eftersom delintervallen är lika långa är $t_{k+1}-t_k = \frac{b-a}{n}$ vilket ger approximationen

        $\displaystyle\int_{a}^{b}f\left(x\right)\,dx \approx \left(b-a\right) \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n}f\left(t_k\right).$

Här har han  summan $\sum_{i=2n}^{3n} \frac{n}{i^2-n^2}$ som skrivs

    $\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\left(2+\frac{k}{n}\right)^2-1}$

där definierats $k=i-2n$. Jämför detta med

    $\displaystyle\left(b-a\right)\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}f\left(t_k\right)$ för att få

$b-a = 3-2$ och $f\left(t_k\right) = \frac{1}{\left(2+\frac{k}{n}\right)^2-1}$.

Om du sätter

    $t_k = 2+\frac{k}{n}$ och $f\left(x\right) = \frac{1}{x^2-1}$

så kan du skriva att summan är en approximation till integralen

    $\displaystyle\int_{2}^{3}\frac{1}{x^2-1}\,dx$,

som i sin tur kan beräknas via partialbråksuppdelning av integranden till att vara $\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}$.

Det sökta gränsvärdet blir exakt lika med denna integral, så resultatet är

    $\displaystyle\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=2n}^{3n}\frac{n}{i^2-n^2}.$