udda eller jämna funktioner

Att funktionen enbart antar positiva värden behöver inte betyda att den är jämn, vilket syns tydligt på grafen. Ritar du upp $x^2+2x+1$ ser man att funktionen inte speglas i y-axeln (vilket en jämn funktion skulle göra).

Jag brukar pröva att sätta in ett negativt tal, $-a$ i funktionen:

$f(-a)=(-a)^2-2a+1=a^2-2a+1$

Detta är varken lika med $f\left(a\right)$ eller $-f\left(a\right)$, alltså är funktionen varken jämn eller udda.

K.Ivanovitj skrev:

Hej

jag har en uppgift där man ska bestämma om funktionerna är udda eller jämna, jag har gjort liknande uppgifter och fått rätt svar men dessa två har jag inte förstått hur man får fram svaret.

Vilka av följande funktioner är udda, jämna, varken udda eller jämna

a) $x^2+2x+1$

b) $x\left(e^x+e^{-x}\right)$

En funktion är jämn om f(-x)=f(x) och udda om f(-x)=-f(x)

Svaret för a ska vara varken eller men jag förstår inte hur för jag får det till att funktionen är jämn eftersom för varje tal jag sätter in i x får jag alltid ett positivt värde för uttrycket.

Om funktionsvärdet blir positivt eller inte har inget att göra med om funktionen är jämn eller udda.

Sätt $f(x)=x^2+2x+1$

Om nu $f(x)=f(-x)$ för alla möjliga värden på $x$ så är $f(x)$ en jämn funktion.

Vi prövar med $x=1$:

1. Vad får du för värde på $f(1)$?
2. Vad får du för värde på $f(-1)$?
3. Är $f(1)=f(-1)$?

jag får att f(1)=4 och f(-1)=0 så $f\left(1\right)\ne f\left(-1\right)$

Just det. Eftersom $f(-1) \neq f(1) \neq -f(1)$ gäller det inte att $f(-x)=f(x)$ och inte heller att $f(-x)=-f(x)$ och därför är funktionen varken jämn eller udda.

Att hitta motexempel kan vara en bra strategi för att visa att en funktion inte är jämn eller udda, efter som det räcker med att hitta ett tal som inte uppfyller villkoren. Vill man däremot bevisa att en funktion är jämn eller udda måste man visa det för alla tal $x$. Då kan det vara fiffigt att göra det algebraiskt som jag visade ovan.