U-sub.

Jag tycker du hoppar lite för många steg. Börja med att skriva upp:

$y'+\dfrac{8x}{x^2+1}=0$

$\displaystyle\int y'+\dfrac{8x}{x^2+1}\ dx=0$

$\displaystyle y+\int\dfrac{8x}{x^2+1}\ dx=0$

Först här kan man börja tala om några substitutioner.

Som du nämner ger variabelbytet $u=x^2+1$ differentialen $dx=\frac{du}{2x}$. Sätter man in det i integralen får man:

$\displaystyle y+\int\dfrac{8x}{u}\cdot\dfrac{1}{2x}\ du=0$

Vad får du om du förenklar det?

AlvinB skrev:

Jag tycker du hoppar lite för många steg. Börja med att skriva upp:

$y'+\dfrac{8x}{x^2+1}=0$

$\displaystyle\int y'+\dfrac{8x}{x^2+1}\ dx=0$

$\displaystyle y+\int\dfrac{8x}{x^2+1}\ dx=0$

Först här kan man börja tala om några substitutioner.

Som du nämner ger variabelbytet $u=x^2+1$ differentialen $dx=\frac{du}{2x}$. Sätter man in det i integralen får man:

$\displaystyle y=\int\dfrac{8x}{u}\cdot\dfrac{1}{2x}\ du$

Vad får du om du förenklar det?

 Fick det till $4\int \frac{1}{u}$du   ska testa vidare nu! Tackar!

AlvinB skrev:

Jag tycker du hoppar lite för många steg. Börja med att skriva upp:

$y'+\dfrac{8x}{x^2+1}=0$

$\displaystyle\int y'+\dfrac{8x}{x^2+1}\ dx=0$

$\displaystyle y+\int\dfrac{8x}{x^2+1}\ dx=0$

Först här kan man börja tala om några substitutioner.

Som du nämner ger variabelbytet $u=x^2+1$ differentialen $dx=\frac{du}{2x}$. Sätter man in det i integralen får man:

$\displaystyle y=\int\dfrac{8x}{u}\cdot\dfrac{1}{2x}\ du$

Vad får du om du förenklar det?

 Såg nu att uppgiften var $y\text{'}+\frac{8x}{x^2+1}y=0$... 

Tänker såhär då: $$\begin{gathered} y\text{'}+\frac{8x}{x^2+1}y=0 \\ \int \left(\frac{8x}{x^2+1}\right)dx=4\int \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)dx och som vi ser här så är ju u=x^2+1 och \\ du=2x dx så då blir detta 4\int \left(\frac{du}{u}\right) men här fastnar jag.. enligt facit ska jag härifrån \\ göra 4\ln \left(x^2+1\right)=\ln {\left(x^2+1\right)}^4 vilket jag inte hänger med på.. \\ sen ska man därefter multiplicera ekvationen med e^{\ln (x^2+1{)}^4}=(x^2+1) vilket jag inte heller förstår .. \end{gathered}$$

I facit använder man integrerande faktor.

Ett annat alternativ är att se det som en separabel differentialekvation.

Då kan du tänka så här:

$y'+\dfrac{8x}{x^2+1}y=0$

$y'=\dfrac{-8x}{x^2+1}y$

$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{-8x}{x^2+1}$

Detta är en separabel differentialekvation, och vi får:

$\displaystyle\int\frac{1}{y}\ dy=\int\frac{-8x}{x^2+1}\ dx$

Ser du vad vänsterintegralen blir? Vad får du högerintegralen till med din substitution?