Tyngdpunktsformeln för en tetraeder
Hej,
Jag har till uppgift att visa följande:
Låt ABCD vara en tetraeder. Sammanbindningslinjen mellan ett hörn och motstående sidas tyngdpunkt kallas för en median. Låt A1 vara tyngdpunkten i triangeln BCD och låt M vara den punkt som delar medianen AA1 i förhållandet 3:1. Visa då att för en godtycklig och fixerad punkt O att:
OM = 1/4(OA+OB+OC+OD).
Jag har genomfört detta bevis för att finna tyngdpunkten hos en triangel, det vill säga OM = 1/3(0A+OB+OC) och likaså har jag bevisat mittpunktsformeln OM = 1/2(OA+OB). Men hur ska jag bevisa detta? Jag har försökt på väldigt många olika sätt genom att exempelvis dra linjer för att forma trianglar i tetradern och på så vis utnyttja de tidigare formler jag bevisat, men jag kommer ingenstans. Har någon löst denna uppgift tidigare, eller finns det någonstans på nätet ett bevis som är enkelt att förstå och som bevisas med hjälp utav just vektorer?
Tack!
Jag har möjligen sett det här problemet förr, inte säker. I vilket fall hittade jag ganska snabbt en lösning.
Men jag vet inte riktigt vad det är du vill ha. Vill du att jag visar beviset? Det är ju lite tråkigt.
Jag kan peka lite i rätt riktning.
Poängen med min lösning är: vi skriver OM som en summa av vektorer på fyra olika sätt.
Dels ser vi OM som summan av vektorerna OA+AM.
Dels ser vi OM som summan av vektorerna OB+BA_1+A1M
Och sedan samma sak som den andra fast med C och D istället för B.
Addera de fyra ekvationerna och förenkla, där du i förenklingen dels utnyttjar att AM=3/4*AA_1 samt att A_1 är median i BCD.
Smutsmunnen skrev:Jag har möjligen sett det här problemet förr, inte säker. I vilket fall hittade jag ganska snabbt en lösning.
Men jag vet inte riktigt vad det är du vill ha. Vill du att jag visar beviset? Det är ju lite tråkigt.
Jag kan peka lite i rätt riktning.
Poängen med min lösning är: vi skriver OM som en summa av vektorer på fyra olika sätt.
Dels ser vi OM som summan av vektorerna OA+AM.
Dels ser vi OM som summan av vektorerna OB+BA_1+A1M
Och sedan samma sak som den andra fast med C och D istället för B.
Addera de fyra ekvationerna och förenkla, där du i förenklingen dels utnyttjar att AM=3/4*AA_1 samt att A_1 är median i BCD.
Tack, jag lyckades lösa det med den metoden du angav. :)
