Tydlig och enkel förklaring om primitiva funktioner

Vet du vad derivata är?

Laguna skrev:

Vet du vad derivata är?

kolla ovan

Primitiv funktion är omvändningen till derivata: om f(x) är derivatan av F(x) så är F(x) en primitiv funktion till f(x).

Det svarar inte på allt du nämnde, men gjorde det någonting klarare?

Variabelsub kommer i matte 5 eller universitetsmatematik. Kedjereglen i matte 4, men du ställer denna fråga på nivån matte 3 så jag svarar inte på någon av dessa då det inte tillhör din nivå.

Att integrera är att deriva baklänges. Vissa av de tillgivna derivatorna du har i ditt formelblad klarar man inte av att bevisa förrän vi får lite mer verktyg i lådan, som exempelvis kedjereglen.

Det enklaste sättet att begripa detta är nog att försöka applicera det.

Antag att vi sitter på en bus som kör från Malmö till Stockholm. Vi har någon smart matematiker på bussen som beräknar att bussen följer modellen $s(t)=5t-3$ (påhittat exempel). Låt säga nu att jsg vill ta reda på hur snabbt vi kör. Genom att deriva sträckan med avseende på tid får vi hastighet. Dvs: $s'(t)=v(t)$.

Låt nu istället säga att vi istället åker tåg och vi rör oss med hastigheten: $v(t)=8t^2$ oxh jag vill veta hur långt vi kört efter t minuter. Nu kan vi integrera istället för att ta fram en funktion för sträckan, nämligen: $\displaystyle \int v(t)dt = s(t)+c$. 

Hänger du med? 

Den vanliga integreringsreglen är exakt samma sak som deriveringsreglen vara att vi subtraherar exponenten och dividerat istället för att addera och multiplicera.

Dracaena skrev:

Variabelsub kommer i matte 5 eller universitetsmatematik. Kedjereglen i matte 4, men du ställer denna fråga på nivån matte 3 så jag svarar inte på någon av dessa då det inte tillhör din nivå.

Att integrera är att deriva baklänges. Vissa av de tillgivna derivatorna du har i ditt formelblad klarar man inte av att bevisa förrän vi får lite mer verktyg i lådan, som exempelvis kedjereglen.

Det enklaste sättet att begripa detta är nog att försöka applicera det.

Antag att vi sitter på en bus som kör från Malmö till Stockholm. Vi har någon smart matematiker på bussen som beräknar att bussen följer modellen $s(t)=5t-3$ (påhittat exempel). Låt säga nu att jsg vill ta reda på hur snabbt vi kör. Genom att deriva sträckan med avseende på tid får vi hastighet. Dvs: $s'(t)=v(t)$.

Låt nu istället säga att vi istället åker tåg och vi rör oss med hastigheten: $v(t)=8t^2$ oxh jag vill veta hur långt vi kört efter t minuter. Nu kan vi integrera istället för att ta fram en funktion för sträckan, nämligen: $\displaystyle \int v(t)dt = s(t)+c$. 

Hänger du med? 

Den vanliga integreringsreglen är exakt samma sak som deriveringsreglen vara att vi subtraherar exponenten och dividerat istället för att addera och multiplicera.

okej men som i ditt exempel hur sätter du in det i integralformeln? och hur deriverar man baklänges?

Laguna skrev:

Primitiv funktion är omvändningen till derivata: om f(x) är derivatan av F(x) så är F(x) en primitiv funktion till f(x).

Det svarar inte på allt du nämnde, men gjorde det någonting klarare?

inte riktigt...

Vilken kurs läser du? Du lägger frågan i Matte 3 men frågar om saker som inte ingår i Matte 3.

Vilka delar kring primitiva funktioner är det du fortfarande undrar över?

Är det något/några av följande?

1. Vad en primitiv funktion är och hur det hänger ihop med derivata.
2. Hur man tar fram en primitiv funktion.
3. Vad man använder primitiva funktioner till.

Yngve skrev:

Vilken kurs läser du? Du lägger frågan i Matte 3 men frågar om saker som inte ingår i Matte 3.

Vilka delar kring primitiva funktioner är det du fortfarande undrar över?

Är det något/några av följande?

1. Vad en primitiv funktion är och hur det hänger ihop med derivata.
2. Hur man tar fram en primitiv funktion.
3. Vad man använder primitiva funktioner till.

matematik 3c och alla tre punkter är det jag undrar över

Tillägg: 26 jul 2022 14:06

grejen är att jag läser på distans och får inte lärarledda genomgångar..så måste söka mig informationen på youtube...

OK bra, då tar vi dem en och en.

1: Vad är en primitiv funktion och hur hänger det ihop med derivata?

Svar: En primitiv funktion är "antiderivatan" till en funktion. Om det gäller att F'(x) = f(x) så är F(x) en primitiv funktion till funktionen f(x). Även det omvända gäller, dvs om F(x) är en primitiv funktion till f(x) så gäller det att F'(x) = f(x).

Exempel:

F(x) = x² är en primitiv funktion till f(x) = 2x eftersom derivatan av x² är 2x.

F(x) = x² + 7 är också en primitiv funktion till f(x) = 2x eftersom derivatan av x² + 7 är 2x.

F(x) = sin(x) är en primitiv funktion till f(x) = cos(x) eftersom derivatan av sin(x) är cos(x).

F(x) = sin(x) - 2 är också en primitiv funktion till f(x) = cos(x) eftersom derivatan av sin(x) - 2 är cos(x).

F(x) = e^x är en primitiv funktion till f(x) = e^x eftersom derivatan av e^x är e^x.

F(x) = e^x + 17 är också en primitiv funktion till f(x) = e^x eftersom derivatan av e^x + 17 är e^x.

F(x) = x³/3 + x² + 3 är en primitiv funktion till f(x) = x² + 2x eftersom derivatan av x³/3 + x² + 3 är x² + 2x.

Är du med så långt?

Jag lyckades klämma in ett inlägg till i din nu låsta tråd i samma ämne innan Dracaena låste den. På grund av att jag började skriva den innan han påbörjade sitt inlägg i samma tråd. Bara som en information.

Yngve skrev:

OK bra, då tar vi dem en och en.

1: Vad är en primitiv funktion och hur hänger det ihop med derivata?

Svar: En primitiv funktion är "antiderivatan" till en funktion. Om det gäller att F'(x) = f(x) så är F(x) en primitiv funktion till funktionen f(x). Även det omvända gäller, dvs om F(x) är en primitiv funktion till f(x) så gäller det att F'(x) = f(x).

Exempel:

F(x) = x² är en primitiv funktion till f(x) = 2x eftersom derivatan av x² är 2x.

F(x) = x² + 7 är också en primitiv funktion till f(x) = 2x eftersom derivatan av x² + 7 är 2x.

F(x) = sin(x) är en primitiv funktion till f(x) = cos(x) eftersom derivatan av sin(x) är cos(x).

F(x) = sin(x) - 2 är också en primitiv funktion till f(x) = cos(x) eftersom derivatan av sin(x) - 2 är cos(x).

F(x) = e^x är en primitiv funktion till f(x) = e^x eftersom derivatan av e^x är e^x.

F(x) = e^x + 17 är också en primitiv funktion till f(x) = e^x eftersom derivatan av e^x + 17 är e^x.

F(x) = x³/3 + x² + 3 är en primitiv funktion till f(x) = x² + 2x eftersom derivatan av x³/3 + x² + 3 är x² + 2x.

Är du med så långt?

Ja

OK bra, då tar vi punkt 2, "Hur man tar fram en primitiv funktion".

Vi säger att vi vill ta fram en primitiv funktion F(x) till en given funktion f(x).

En snabb och bra metod är ofta att iterera sig fram till en F(x) med hjälp av gissningar.

Säg att f(x) är en potensfunktion, exempelvis f(x)= x³. Vi kan då gissa att även F(x) är en potensfunktion och att potensens värde för F(x) bör vara 1 högre än potensens värde för f(x). Detta eftersom potensens värde sjunker med 1 då vi deriverar en funktion.

Vi gissar alltså att F(x) = x⁴.

Sedan deriverar vi F(x) och jämför med f(x). Eftersom F'(x) = 4x³ så har vi en faktor 4 för mycket.

Vi kompenserar för detta genom att dividera vårt F(x) med 4.

Vår nya gissning är alltså F(x) = x⁴/4.

Sedan deriverar vi F(x) och jämför med f(x).

Eftersom F'(x) = 4x³/4 = x³ så gäller att F'(x) = f(x) och vi har då alltså hittat en primitiv funktion till f(x) = x³.

Samma metod kan användas om vi har en koefficient framför potensfunktionen.

Säg att f(x) = x/8.

Vi gissar att F(x) = x².

Derivering ger att F'(x) = 2x.

Detta är en faktor 16 för stort, vilket vi kompenserar genom att dividera vårt F(x) ned 16.

Vår nya gissning är F(x) = x²/16.

==========

Eftersom derivatan av en summa av funktioner är lika med summan av funktionernas derivator så gäller omvänt att en primitiv funktion till en summa av funktioner är summan av funktionernas primitiva funktioner.

Exempel:

f(x) = x⁵ + x²

Vi gissar att F(x) = x⁶ + x³.

Derivering ger F'(x) = 6x⁵ + 3x².

Första termen är fel med en faktor 6, andra termen är fel med en faktor 3.

Efter kompensation blir vår nya gissning x⁶/6 + x³/3.

=======

Så småningom kommer du att lära dig att göra bättre och bättre gissningar.

=======

Är du med så långt?

1. Vad en primitiv funktion är och hur det hänger ihop med derivata?
   En primitiv funktion är en reversering av dess derivata: $\int \frac{dy}{dx}dx=y$
2. Hur man tar fram en primitiv funktion?
   Görs på många sätt, men här är en: $\int x dx=\frac{1}{2}{x}^2$
3. Vad man använder primitiva funktioner till?
   Integraler används för att utvärdera storheter som area, volym, arbete och i allmänhet vilken kvantitet som helst som kan tolkas som arean under en kurva.

Yngve skrev:

OK bra, då tar vi dem en och en.

1: Vad är en primitiv funktion och hur hänger det ihop med derivata?

Svar: En primitiv funktion är "antiderivatan" till en funktion. Om det gäller att F'(x) = f(x) så är F(x) en primitiv funktion till funktionen f(x). Även det omvända gäller, dvs om F(x) är en primitiv funktion till f(x) så gäller det att F'(x) = f(x).

Exempel:

F(x) = x² är en primitiv funktion till f(x) = 2x eftersom derivatan av x² är 2x.

F(x) = x² + 7 är också en primitiv funktion till f(x) = 2x eftersom derivatan av x² + 7 är 2x.

F(x) = sin(x) är en primitiv funktion till f(x) = cos(x) eftersom derivatan av sin(x) är cos(x).

F(x) = sin(x) - 2 är också en primitiv funktion till f(x) = cos(x) eftersom derivatan av sin(x) - 2 är cos(x).

F(x) = e^x är en primitiv funktion till f(x) = e^x eftersom derivatan av e^x är e^x.

F(x) = e^x + 17 är också en primitiv funktion till f(x) = e^x eftersom derivatan av e^x + 17 är e^x.

F(x) = x³/3 + x² + 3 är en primitiv funktion till f(x) = x² + 2x eftersom derivatan av x³/3 + x² + 3 är x² + 2x.

Är du med så långt?

okej men exempel med negativa tal?

Yngve skrev:

OK bra, då tar vi punkt 2, "Hur man tar fram en primitiv funktion".

Vi säger att vi vill ta fram en primitiv funktion F(x) till en given funktion f(x).

En snabb och bra metod är ofta att iterera sig fram till en F(x) med hjälp av gissningar.

Säg att f(x) är en potensfunktion, exempelvis f(x)= x³. Vi kan då gissa att även F(x) är en potensfunktion och att potensens värde för F(x) bör vara 1 högre än potensens värde för f(x). Detta eftersom potensens värde sjunker med 1 då vi deriverar en funktion.

Vi gissar alltså att F(x) = x⁴.

Sedan deriverar vi F(x) och jämför med f(x). Eftersom F'(x) = 4x³ så har vi en faktor 4 för mycket.

Vi kompenserar för detta genom att dividera vårt F(x) med 4.

Vår nya gissning är alltså F(x) = x⁴/4.

Sedan deriverar vi F(x) och jämför med f(x).

Eftersom F'(x) = 4x³/4 = x³ så gäller att F'(x) = f(x) och vi har då alltså hittat en primitiv funktion till f(x) = x³.

Samma metod kan användas om vi har en koefficient framför potensfunktionen.

Säg att f(x) = x/8.

Vi gissar att F(x) = x².

Derivering ger att F'(x) = 2x.

Detta är en faktor 16 för stort, vilket vi kompenserar genom att dividera vårt F(x) ned 16.

Vår nya gissning är F(x) = x²/16.

==========

Eftersom derivatan av en summa av funktioner är lika med summan av funktionernas derivator så gäller omvänt att en primitiv funktion till en summa av funktioner är summan av funktionernas primitiva funktioner.

Exempel:

f(x) = x⁵ + x²

Vi gissar att F(x) = x⁶ + x³.

Derivering ger F'(x) = 6x⁵ + 3x².

Första termen är fel med en faktor 6, andra termen är fel med en faktor 3.

Efter kompensation blir vår nya gissning x⁶/6 + x³/3.

=======

Så småningom kommer du att lära dig att göra bättre och bättre gissningar.

=======

Är du med så långt?

nästan..

sofiakatarina skrev:

okej men exempel med negativa tal?

Exempel med negativa tal. Var det så du menade?

F(x) = -x² är en primitiv funktion till f(x) = -2x eftersom derivatan av -x² är -2x.

F(x) = -x² + 7 är också en primitiv funktion till f(x) = -2x eftersom derivatan av -x² + 7 är -2x.

F(x) = -sin(x) är en primitiv funktion till f(x) = -cos(x) eftersom derivatan av -sin(x) är -cos(x).

F(x) = -sin(x) - 2 är också en primitiv funktion till f(x) = -cos(x) eftersom derivatan av -sin(x) - 2 är -cos(x).

F(x) = -e^x är en primitiv funktion till f(x) = -e^x eftersom derivatan av -e^x är -e^x.

F(x) = -e^x + 17 är också en primitiv funktion till f(x) = -e^x eftersom derivatan av -e^x + 17 är -e^x.

F(x) = -x³/3 - x² + 3 är en primitiv funktion till f(x) = -x² -2x eftersom derivatan av -x³/3 - x² + 3 är -x² -2x.

sofiakatarina skrev:

Yngve skrev:

OK bra, då tar vi punkt 2, "Hur man tar fram en primitiv funktion".

...

...

Är du med så långt?

nästan..

Vilken del/vilka delar av förklaringen till punkt 2 behöver du få förklarad på ett bättre sätt?

Yngve skrev:

sofiakatarina skrev:

okej men exempel med negativa tal?

Exempel med negativa tal. Var det så du menade?

F(x) = -x² är en primitiv funktion till f(x) = -2x eftersom derivatan av -x² är -2x.

F(x) = -x² + 7 är också en primitiv funktion till f(x) = -2x eftersom derivatan av -x² + 7 är -2x.

F(x) = -sin(x) är en primitiv funktion till f(x) = -cos(x) eftersom derivatan av -sin(x) är -cos(x).

F(x) = -sin(x) - 2 är också en primitiv funktion till f(x) = -cos(x) eftersom derivatan av -sin(x) - 2 är -cos(x).

F(x) = -e^x är en primitiv funktion till f(x) = -e^x eftersom derivatan av -e^x är -e^x.

F(x) = -e^x + 17 är också en primitiv funktion till f(x) = -e^x eftersom derivatan av -e^x + 17 är -e^x.

F(x) = -x³/3 - x² + 3 är en primitiv funktion till f(x) = -x² -2x eftersom derivatan av -x³/3 - x² + 3 är -x² -2x.

om man har e^kx där kt är negativt

Ett bra tillfälle för dig att pröva metoden jag beskrev i svar #13.

Säg att f(x) = e^-4x.

Du vet att derivatan av en exponentialfunktion i sig är en exponentialfunktion, dvs den är ganska lik.

Gissa nu därför att även F(x) = e^-4x.

Derivera nu F(x) och se hur nära f(x) du kommer.

Visa ditt försök.

Yngve skrev:

Ett bra tillfälle för dig att pröva metoden jag beskrev i svar #13.

Säg att f(x) = e^-4x.

Du vet att derivatan av en exponentialfunktion i sig är en exponentialfunktion, dvs den är ganska lik.

Gissa nu därför att även F(x) = e^-4x.

Derivera nu F(x) och se hur nära f(x) du kommer.

Visa ditt försök.

fattar fortfarande inte...

sofiakatarina skrev:

fattar fortfarande inte...

I det här fallet är det nog bättre att du bara gör utan att förstå helt. Förhoppningsvis kommer förståelsen av att du genomför metoden.

• Gissa alltså att F(x) = e^-4x.
• Nu prövar vi om vi har gissat rätt eller inte.
• Derivera därför F(x) = e^-4x.
• Hur ser derivatan ut?