Två vektorer som omöjligen kan vara ortogonala.
Påstående: Låt och vara två vektorer i ett vektorrum med inre produkt. Visa att om vektorerna är sådana att så är och inte ortogonala vektorer.
Här gäller det att vara uppmärksam på att olikheten är strikt.
Vi antar ett reellt linjärt vektorrum V försett med en skalärprodukt samt att . Då gäller (Cauchy-Schwarz)
Två vektorer och är ortogonala om . Men
Eftersom enligt ovan. Vektorerna är alltså inte ortogonala.
Hej!
Snygg lösning Guggle! Mitt eget lösningsförslag är litet mer trigonometriskt.
Anta att de två vektorerna och är ortogonala. Då är deras skalärprodukt lika med talet noll. Skalärprodukten kan skrivas
där betecknar vinkeln mellan vektorerna och . Olikheten medför att kan inte vara nollvektorn (däremot kan vara det). Olikheten medför därför den strikta olikheten vilken är omöjlig. Det var därför fel att anta att vektorerna och var ortogonala.
Antag att u och u-v är ortogonala. Då är -u och u-v ortogonala. Då kan vi låta dem bilda kateter i en rätvinklig triangel. Hypotenusans längd ges av normen av summan av katetvektorerna, dvs |-u+u-v|=|v|. Hypotenusan är nu strikt kortare än kateten... Motsägelse.
(om man inte gillar "vanliga" euklidiska resonemang i godtyckligt vektorrum så kan vi titta på Span(u,v) som är ett 2-dim underrum och alltså isomorft med R^2 där allt är lugnt)