Två tentauppgifter, integralkalkyl

Notera att i båda uppgifterna så är $f$ kontinuerlig på $[a,b]$. I första uppgiften är $[a,b]=[0,2]$ och i andra uppgiften är $[a,b]=[0,\pi]$. Det följer från Weierstrass sats i respektive uppgift att det existerar värden $m$ och $M$ sådant att för varje $x$ i $[a,b]$ så är $m \leq f(x) \leq M$.
För en icke negativ integrerbar funktion $g(x)$ på $[a,b]$ gäller därför:

$m\int_a^b g(x)dx \leq \int_a^b f(x)g(x)dx \leq M \int_a^b g(x)dx$

I första uppgiften är $g(x)=x$ och i andra uppgiften är $g(x)=\sin{(x)}$.
Notera att för båda uppgifterna gäller

$\int_a^b g(x) dx=2$,

för deras respektive intervall. Detta ger:

$m \leq \frac{1}{2}\int_a^b f(x)g(x)dx \leq M$.

Enligt satsen om mellanliggande värden så antar $f$ varje värde mellan $m$ och $M$ på intervallet $[a,b]$, så för något $\xi$ i $[a,b]$ är

$f(\xi)=\frac{1}{2}\int_a^b f(x)g(x)dx$.

I första uppgiften blir detta:

$\int_0^2 x f(x) dx = 2f(\xi)$.

I andra uppgiften blir det:

$\int_0^\pi f(x) \sin{(x)} dx = 2f(\xi)$.

Grymt!! Tack så mycket!!! :D