Två tangenter

Hej!

Två tangenter dras till kurvan y = $a x^{2} + b$ , där a och b är konstanter.

Den ena tangenten dras i X = P och den andra där X = -P.

Visa att de skär varandra i Y axeln.

////////

Jag pluggade in godtyckliga värden för a och b, i det fallet 2 och 4. Sedan satte jag X = 2 och X =-2. Sedan tog jag fram ekvationerna för dessa linjer och pluggade sedan in x = 2 i dem båda, och de resulterade då i samma y värde. Men det ska ju lösas generellt, vilket jag inte klarar av att göra...

Men $D = 2 a p o c h 2 a (- p)$

Sedan Y = 2ap(p) +m för linje 1 och Y = 2a(-p^2) +m för linje 2.

... sen är det för svårt

Man kanske kan.. sätta funktionen och linjerna lika med varandra eller någonting. Nej linjerna lika med derivatan för funktionen.

$2 a p^{2} + m = 2 a p l i n j e 1 2 a (- p^{2}) + m = 2 a p l i n j e 2$

Om de skär varandra så är m lika i båda fallen.

$2 a p^{2} + m = 2 a p m = \frac{2 a p}{2 a p^{2}} m = p^{- 1} f ö r l i n j e 1 2 a (- p^{2}) + m = 2 a p m = \frac{2 a (p)}{2 a (- p^{2})} m = - p^{- 1} f ö r l i n j e 2$

Nej.. det är svammel. Eller nej, utvecklar man (-p)^2 blir det positivt, och således då exakt samma sak som för linje 1.

Hur är det, behöver du hjälp med denna uppgift?

Ja. Ursäkta. Försöker visa min tankeprocess lite bara..

OK.

Förslag på lösningsmetod:

Börja med att derivera uttrycket: y' = 2ax.

====

Låt L1 vara den tangent som tangerar parabeln vid x = p. Ekvationen för denna tangent är y = k₁x+m₁.

Vi vet att k₁ = 2a*p, vilket ger oss ekvationen y = 2apx+m_1.

Vi vet att tangeringspunkten har koordinaterna (p, ap²+b).

Om vi sätter in dessa koordinater i ekvationen för L1 så får vi ap²+b = 2ap²+m₁, vilket ger oss att m₁ = b-ap².

====

Låt L2 vara den tangent som tangerar parabeln vid x = -p. Ekvationen för denna tangent är y = k₂x+m₂.

Gör nu samma beräkning som ovan för att ta fram ett uttryck för m₂

Om det visar sig att m₁ = m₂ så har du visat att tangenterna skär varandra på y-axeln.

Ah, okej... Får pröva det

Tack.

Du har grönmarkerat tråden, betyder det att du löste uppgiften?

$2 a (- p^{2}) + m = a {(- p)}^{2} + b m = \frac{a {(- p)}^{2} - 2 a {(- p)}^{2} + b}{1} m = - a p^{2} + b m = b - a p^{2}$

Jag tror det. Men det där jag höll på med innan då, det ger ingenting? Det ger att de har samma lutning som derivatan men inte någon tangeringspunkt kanske.

Om man noterar att kurvan är symmetrisk kring y-axeln följer uppgiftens påstående "av symmetriskäl".

Sedan är frågan hur mycket det måste utvecklas för att anses vara en lösning.

Att tangenterna är varandras spegelbilder i y-axeln och alltså måste skära varandra där?
Tangeringspunkterna har samma y-koordinat och deras avstånd till y-axeln är lika.
Den ena tangentens k-värde är -1 gånger den andra tangentens,
så att avståndet till y-axeln är lika för alla punkter på respektive tangent med samma y.

Hej Louis,

Ja precis..

Tror det skulle visas algebraiskt. Tyckte det var ganska knepigt.. enkelt nu men..

Facit tar upp samma metod som Yngve visade

Dkcre skrev:
[...] Men det där jag höll på med innan då, det ger ingenting?

Jodå, din början var bra, fram till de båda tangenternas ekvationer. Där råkade du sätta m i båda ekvationerna istället för m₁ och m₂

Sedan missade du bara att använda informationen om tangeringspunkternas koordinater för att komma vidare.

Svara

Visa senaste svar