Två motsägande tankegångar - roulette

Att spela på casino eller liknande är såklart aldrig någon bra idé. Något som jag dock har funderat på på senaste handlar om spelet roulette. Det finns ju den så kallade "gambler's fallacy", som många faller in i när de spelar om pengar. Kort och gott betyder det att man tror att ett utfall blir mer sannolikt baserat på de föregående utfallen. Ett exempel skulle vara att någon tror att det är mer sannolikt att det blir röd istället för svart, för att det har blivit svart tre gånger i rad tidigare.

Å ena sidan förstår jag att detta inte stämmer, eftersom varje "utfall" har samma sannolikhet och varje runda bör vara oberoende av den förra. Å andra sidan tycker jag det känns lite märkligt. Föreställ er följande scenario och frågeställning:

"Du spelar roulette där det finns 10 röda rutor och 10 svarta rutor. Du undrar om sannolikheten att det blir röd ökar om de föregående utfallen var svart."

Man skulle ju kunna ställa upp ett uttryck för sannolikheten att det blir svart $n$ gånger i rad

$P (s v a r t n g g r) = {(\frac{1}{2})}^{n}$

Ju större $n$ blir, desto mer osannolikt bör det bli att det blir svart igen. Men samtidigt är väl varje runda helt oberoende av den förra? När $n \to \infty$ går $P (s v a r t n g g r) \to 0$ . Således skulle det kanske vara rimligt att säga att det är "mer sannolikt" att det blir röd om det har blivit svart många gånger innan. Men det resonomanget är ju just det som "gambler's fallacy" innebär.

Jag är helt lost här och skulle uppskatta lite hjälp. Jag hoppas min fråga var tydlig.

Intressant, tror du att det kan finnas något samband till monty hall problemet. Jag är inte smart nog att förklara men det känns som de är lite lika på ett sätt kanske? :D

Frågan är hur mycket information vi har. Om du får frågan hur stor sannolikheten är att det blir svart tio gånger i rad, så är den sannolikheten ganska liten (ungefär 0,1%). Sannolikheten är låg eftersom vi uttalar oss om tio utfall samtidigt.

Men om du får veta att de senaste nio resultaten var svart, och nu får frågan hur stor sannolikheten är att nästa omgång också slutar på svart, då uttalar du dig bara om ett enda utfall.

Man kan även tänka såhär: slanten som singlas har inget minne - om sannolikheten skulle ha påverkats av tidigare utfall, vem är det som skulle ordna detta? :)

Inom sannolikhetsläran kallas detta betingad sannolikhet.

Om du ser en lång rad av röda, kan det verka intuitivt att tänka att ett svart resultat är "på väg" snart. Men detta är en feltolkning av hur sannolikheter fungerar. Det faktum att ett rött resultat blir mindre sannolikt ju fler gånger det inträffar i rad betyder inte att ett svart resultat blir mer troligt. Den minskande sannolikheten hänvisar till chansen att den exakta raden inträffar från början, inte till oddsen vid nästa snurr efter att en rad redan har inträffat.

Exempelvis, låt säga att det har slagits 23 röda. Sannolikheten för denna "snurren" är densamma. Det kommer fortfarande vara exakt lika sannolikt att man slår en röd som när man började denna långa kedjan.

Det faktum att ett rött resultat blir mindre sannolikt ju fler gånger det inträffar i rad betyder inte att ett svart resultat blir mer troligt.

Men hela utfallsrummet utgörs väl av svart och rött? Alltså $P (r ö d) + P (s v a r t) = 1$ . Så ifall $P (r ö d)$ blir mindre måste väl $P (s v a r t)$ bli större?

Felslutet ligger i att översätta
(1) Ju större n blir, desto mer osannolikt är det att n försök ger n svarta i rad
till
(2) Ju större n blir, desto mer osannolikt bör det bli att det blir svart igen

(1) gäller en serie med förbestämt antal försök och förbestämda utfall, alltså serien som helhet.
(2) övergår till att betrakta nya, enskilda försök, och felaktigt göra dem beroende av tidigare utfall.

P(n+1 svarta i rad) < P(n svarta i rad) gäller två olika serier med n+1 respektive n försök.

naytte skrev:

Det faktum att ett rött resultat blir mindre sannolikt ju fler gånger det inträffar i rad betyder inte att ett svart resultat blir mer troligt.

Men hela utfallsrummet utgörs väl av svart och rött? Alltså $P (r ö d) + P (s v a r t) = 1$ . Så ifall $P (r ö d)$ blir mindre måste väl $P (s v a r t)$ bli större?

Det stämmer om du spelar en omgång. Men utfallsrummet blir dubbelt så stort när du pratar om flera omgångar på rad. Första omgången är utfallsrummet Röd och Svart. Om det gäller två omgångar blir utfallsrummet Röd-Röd, Röd-Svart, Svart-Röd, Svart-Svart. Med tre omgångar finns det åtta alternativ i utfallsrummet, och så vidare.

naytte skrev:

Men hela utfallsrummet utgörs väl av svart och rött? Alltså $P (r ö d) + P (s v a r t) = 1$ . Så ifall $P (r ö d)$ blir mindre måste väl $P (s v a r t)$ bli större?

Tankefelet är att P(röd) inte blir mindre.

Eftersom du här uttalar du dig om nästa utfall så gäller att P(röd) = P(svart) = 0,5.

Detta oavsett vad som har hänt tidigare.

=====

En detalj är att det i verkligheten är så att det i Roulette alltid gäller att P(röd) = P(svart) < 0,5.

Detta eftersom utfallet 0 varken är rött eller svart.

Som sagt, du har två olika situationer: en där du förutsäger sannolikheten för att n framtida utfall ska bli exakt ett visst utfall, $P(\text{svart n gånger i rad })= (\frac{1}{2})^n$ (om vi nu bortser från 0:an), och ett där du förutsäger nästkommande utfall, givet tidigare utfall, P(svart | m raka svarta utfall) = P(svart) = 1/2.

Faktum är att sannolikheten P(svart n gånger i rad) får du just eftersom varje omgång är oberoende: $P(\text{svart n gånger i rad}) = \prod_{i=1}^n P(svart)$ , där alltså likheten kommer från att varje omgång är oberoende så du kan bara multiplicera sannolikheterna.

I verkligheten är det ofta rätt att basera förutsägelser på tidigare händelser. Man vet inte tillräckligt om hur det fungerar, så det blir ofta rätt om man gissar att det som har hänt oftast händer igen. I roulettfallet får man i stället anta att maskinen är ordentligt kalibrerad, eftersom rätt mycket pengar hänger på det.

Professionella spelare kan väl knappast falla offer för "gambler's fallacy"? De vet att de ska satsa på det som är statistiskt gynnsamt.

Svara

Visa senaste svar