Två funktioner som bildar en area

Att kunna räkna ut arean mellan en kurva och x-axeln räcker gott här. En bild är alltid en god idé, här fuskar jag fram en lite snabbt:

Det är alltså arean av kurvornas överlapp de frågar efter. Men det kan du räkna ut, om du vet arean mellan den blå kurvan och x-axeln (på samma intervall som överlappet täcker) samt arean mellan den lila kurvan och x-axeln (återigen, på samma intervall). Kan du se hur?

Du får arean mellan kurvorna om du integrerar (den övre funktionen - den nedre funktionen) dx.

Dina integrationsgränser har du redan plockat fram, de är x = 1 till 3.

Gör ett försök!

Menar du att jag ska räkna ut area för den blåa kurvan $0\ge x\ge 3$ samt arean för den röda kurvan (endast det som gäller under den blåa kurvan) i samma intervall? Och sedan subtrahera den "blåa" arean med den "röda".

Jroth skrev:

Du får arean mellan kurvorna om du integrerar (den övre funktionen - den nedre funktionen) dx.

Dina integrationsgränser har du redan plockat fram, de är x = 1 till 3.

Gör ett försök!

Hur vet jag vilken som är den övre respektive undre funktionen?

Leonhart skrev:

Menar du att jag ska räkna ut area för den blåa kurvan $0\ge x\ge 3$ samt arean för den röda kurvan (endast det som gäller under den blåa kurvan) i samma intervall? Och sedan subtrahera den "blåa" arean med den "röda".

Nästan! Överlappet börjar vid x=1, inte x=0. Men annars, japp. Drar man bort den undre arean från den övre så får man mellanskillnadens area, dvs överlappet.

Jag tror det ingår i er kurs att ni ska veta att arean mellan två kurvor ges av integralen av (den övre kurvan  minus den undre kurvan). Då behöver du bara beräkna integralen en gång.

Om inte kan du som skaft är inne på först beräkna arean mellan den övre kurvan och x-axeln och sedan dra ifrån arean mellan den undre kurvan och x-axeln. Då får du kvar arean mellan kurvorna.

Men dina gränser är alltså x=1 till x=3, inget annat.

Den övre funktionen är i det här fallet $-x^{2}+2x+4$ vilket du kan utläsa ur den graf du självklart (?) har skissat över kurvorna.

Att göra det med en enda integral är förstås smidigare, men det är mindre tydligt varför det går att göra så. Tänkte spara den som punchline ;) Men ja, istället för att subtrahera integralerna, kan man subtrahera integranderna:

$\displaystyle \int_a^b f\text{(}x\text{)}\operatorname dx - \int_a^b g\text{(}x\text{)}\operatorname dx = \int_a^b \textstyle (f(x) - g(x))\operatorname dx$ 

Jag ska göra ett försök med Jroths metod med integraler då det är integraler kapitlet handlar om.

Båda metoder använder integraler, skillnaden var bara i vilket steg man gör subtraktionen.

$$\begin{gathered} {\int }_1^3\left(f\right(x)-g(x\left)\right)dx --->{\int }_1^3(-2x+8x-6)dx \\ {\left[\frac{-2x³}{3}+4x²-6x\right]}_1^3 \\ (\frac{-2*3³}{3}+4*3²-6*3)-(\frac{-2*1³}{3}+4*1²-6*1) \\ 0-(-\frac{8}{3}) =\frac{8}{3} \end{gathered}$$

Area: 8/3 a.e.

Är det rätt svar?

Jupp! Snyggt =)

Ja, det är rätt svar och ser rimligt ut. Bra!

Jroth skrev:

Jag tror det ingår i er kurs att ni ska veta att arean mellan två kurvor ges av integralen av (den övre kurvan  minus den undre kurvan). Då behöver du bara beräkna integralen en gång.

Nej, det lär man sig i Ma4 och detta är Ma3.

Om inte kan du som skaft är inne på först beräkna arean mellan den övre kurvan och x-axeln och sedan dra ifrån arean mellan den undre kurvan och x-axeln. Då får du kvar arean mellan kurvorna.

Men dina gränser är alltså x=1 till x=3, inget annat.

Den övre funktionen är i det här fallet $-x^{2}+2x+4$ vilket du kan utläsa ur den graf du självklart (?) har skissat över kurvorna.

Att försöka beräkna en integral utan att rita den först är ungefär det mest korkade man kan göra.