Tumregel för integration med variabelbyte

Jag har spenderat 10 minuter att svettas framför en lätt integral. Jag menar, inte att svettas för att lösa den, bara att bli intimiderad av variabel byte:

Integralen själv var lätt $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + e^{x}}$ med lösning $1 - \ln (1 + e) + \ln 2$

Så jag skulle vara jättetacksam för tips om hur man tänker när man ser klassiska integraler och variabel byte. När är det tan? När är det arctan? När är det $\frac{s}{\sqrt{n å n t i n g}}$ ? Hur väljer man gransvärderna (jag brukar slarva där också)?

Alla tips tar jag mycket tacksamt.

Min onödig svettig lösning:

Ja, det är ju det som är det svåra med integraler, att veta när man ska tillämpa olika typer av substitutioner. I fallet med integralen som du löst ovan får man nog helt enkelt gissa sig på en substitution $t=e^x$ (vilket är ekvivalent med $x=ln(t)$ ).

En trigonometrisk substitution används ofta för att lösa rot-integraler. Om man har en integral med en rot $\sqrt{1-x^2}$ ska man välja sinus- eller cosinusssubstitution, om man har en integral med en rot $\sqrt{1+x^2}$ ska man använda tangenssubstitution (eller hyperbolisk sinus!) och om man har en rot $\sqrt{x^2-1}$ ska man använda en 1/cosinus substitution (eller hyperbolisk cosinus).

" $\frac{s}{\sqrt{n å n t i n g}}$ "-substitutioner används ofta för att omvandla en lite mer avancerad rot till en av de ovannämnda som kan lösas med trigonometrisk substitution, eller att ta fram arctan-uttryck på formen $\frac{1}{1+x^2}$ . Till exempel:

$\sqrt{2-x^2}$ kan omvandlas till formen $\sqrt{1-t^2}$ med hjälp av substitutionen $t=\frac{x}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{3+x^2}$ kan omvandlas till formen $\frac{1}{1+t^2}$ med hjälp av substitutionen $t=\frac{x}{\sqrt{3}}$

Sinh och cosh har jag träffat imorse typ, i den andra tråd ni svarade på... Innan skulle jag ha sagt att det är sin och cos uttalat på arabiska.

Ok, men iaf i matte1 måste jag ha koll på om det är $\frac{}{1 + x^{2}} - - - > \tan g e n s$ eller $\frac{}{1 - x^{2}} - - - > \sin / \cos$ ?

Jag vet inte riktigt vad du menar med "matte 1", men ja, det kan vara bra att ha koll på vilken typ av substitution som är bra för vilken rot:

$\sqrt{1-x^2} \rightarrow$ sinus- eller cosinussubstitution
$\sqrt{1+x^2} \rightarrow$ tangens eller hyperbolisk sinus
$\sqrt{x^2-1} \rightarrow$ 1/cosinus eller hyperbolisk cosinus

Om man glömmer kan man alltid se på de olika identiteterna för att förstå vad som kan förenklas till ett kvadratuttryck:

$1-\cos^2(x)=\sin^2(x)$ och $1-\sin^2(x)=\cos^2(x)$
$1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$ och $1+\sinh^2(x)=\cosh^2(x)$
$\frac{1}{\cos^2(x)}-1=\tan^2(x)$ och $\cosh^2(x)-1=\sinh^2(x)$

Jag menade matte 1 på universitet, där det brukar ingå envariabel och lineär algebra :). Men i detta fall, en variabel!

Ush synd att vi inte har hyperbolisk sinus och cosinus på programmet, jag måste göra fler uppgifter!

Svara

Visa senaste svar