Tryck i vätskor och gas, lyftkraften av ett luftfyllt glas i vatten.

Så här lyder uppgiften:

Man har ett luftfyllt glas som sätts ned i vatten med öppningen nedåt. Lufttrycket vid ytan är 100kPa, luften i glaset anses vara viktlös, glasets vikt är 0.2kg, luften samt vattnet har konstant temperatur, glaset rymmer 10^-3 m^3 luft och har en egen volym på 0.05*10^-3 m^3. Räkna ut vid vilket djup h, glasets gravitationskraft är lika stor som lyftkraften.

Jag började först med att ställa upp ett uttryck för trycket vid djupet h med hjälp av formeln för tryck i vätskor:

$p = \rho *g*h + {10}^6$

Jag ställde sedan upp ett uttryck för luftens volym vid djupet h med hjälp av den ideala gaslagen/Boyles lag:

$v_2= \frac{(p_1 * v_1)}{p_2} = \frac{({10}^6*{10}^{-3})}{(\rho *g*h + {10}^6)}$

Sedan ställde jag upp ett uttryck för lyftkraften med hjälp av Arkimedes princip.

$F_L = \rho *g*v_{tot}$

där $v_{tot} = v_{luft} + v_{glas} = \frac{({10}^6*{10}^{-3})}{(\rho *g*h + {10}^6)} + 0.05*{10}^{-3}$

Vi får då ett uttryck för $F_L$och då vi vet att $F_L = F_g= 0.2 * 9.82$

$F_L =\rho *g( \frac{({10}^6*{10}^{-3})}{(\rho *g*h + {10}^6)} + 0.05*{10}^{-3}) = 0.2*9.82$

Jag stoppar in konstanterna $\rho = 1000 kg/m^3$ och $g = 9.82 m/s^2$ och får då ett slutgiltigt svar på $h ~ 577m$ vilket låter väldigt orimligt. Jag har bevisligen gjord något fel någonstans men kan inte hitta det efter ett flertal försök. Om någon kunde påpeka var jag gjort fel så skulle det uppskattas enormt. Jag har tyvärr inget facit för uppgiften men är väldigt säker på att svaret inte är 577m då det låter väldigt orimligt.