Tröghetsmoment (mekanik högskola)

Det finns lite olika angreppssätt här, men gemensamt för de flesta är att du behöver veta kroppens densitet, vi kan kalla den $\sigma=m/V$ där m är kroppens massa och V är kroppens volym.

Kan du beräkna kroppens volym och bestämma ett uttryck för $\sigma$?

Planen är sedan att beräkna $I_z=\int \rho^2 \mathrm{d}m =\int \rho^2 \sigma \mathrm{d}V$.

Dvs $I_z$ är summan av alla  masselement i kroppen gånger avståndet till rotationsaxeln i kvadrat.

Guggle skrev :

Det finns lite olika angreppssätt här, men gemensamt för de flesta är att du behöver veta kroppens densitet, vi kan kalla den $\sigma=m/V$ där m är kroppens massa och V är kroppens volym.

Kan du beräkna kroppens volym och bestämma ett uttryck för $\sigma$?

Planen är sedan att beräkna $I\z=\int \rho^2 \sigma dV$.

Dvs $I_z$ är summan av alla  masselement i kroppen gånger avståndet till rotationsaxeln i kvadrat.

Mm jag är helt med på hur du stället upp integralen och att man vill integrera över volymen. Dock vet jag inte hur jag ska sätta upp volymen. Hade det varit en konstant volym för kon hade den satts till V=pi*r^2*h/3. Här är ju mindre än för en kon - r förändras med h. Vet inte hur sambandet för volymen mellan r och h ska se ut? Annars är jag med på din tankegång!

 Volymen av kroppen är

$\int_{z=0}^h\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{cz^2}\rho \mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$

Det här är en lösningsgång som baserar sig på flervariabelanalys, jag hoppas att du läst en sådan kurs?

Annars är det bättre att studera t.ex. cirkulära skivor med arean $\pi(cz^2)^2$ multiplicera dem med dz (för att få en volym) och samla ihop dem (integrera) från z=0 till z=h.